Найдите наименьшее натуральное n, для которого существует такое m, что  

   Решение

Дан угол и две точки внутри него. Постройте окружность, проходящую через эти точки и высекающую на сторонах угла равные отрезки.

   Решение

Дан треугольник с периметром, равным 24. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах сторон данного.

   Решение

Компьютеры 1, 2, 3, ..., 100 соединены в кольцо (первый со вторым, второй с третьим, ..., сотый с первым). Хакеры подготовили 100 вирусов, занумеровали их и в различное время в произвольном порядке запускают каждый вирус на компьютер, имеющий тот же номер. Если вирус попадает на незаражённый компьютер, то он заражает его и переходит на следующий в цепи компьютер с большим номером до тех пор, пока не попадёт на уже заражённый компьютер (с компьютера 100 вирус переходит на компьютер 1). Тогда вирус погибает, а этот компьютер восстанавливается. Ни на один компьютер два вируса одновременно не попадают. Сколько компьютеров будет заражено в результате атаки этих 100 вирусов?

   Решение

Бумажный квадрат был проколот в 1965 точках. Из точек-проколов и вершин квадрата никакие три не лежат на одной прямой. Потом сделали несколько прямолинейных не пересекающихся между собой разрезов, каждый из которых начинался и кончался только в проколотых точках или вершинах квадрата. Оказалось, что квадрат разрезан на треугольники, внутри которых проколов нет. Сколько было сделано разрезов и сколько получилось треугольников?

   Решение

Найдите геометрическое место точек M, из которых данный отрезок AB виден под прямым углом.

   Решение

Продолжения равных хорд AB и CD окружности соответственно за точки B и C пересекаются в точке P.
Докажите, что треугольники APD и BPC равнобедренные.

   Решение

В треугольник, у которого основание равно 30, а высота – 10, вписан прямоугольный равнобедренный треугольник так, что его гипотенуза параллельна основанию данного треугольника, а вершина прямого угла лежит на этом основании. Найдите гипотенузу.

   Решение

В круге проведены два перпендикулярных диаметра. Рассмотрим четыре круга, диаметрами которых служат четыре получившихся радиуса исходной окружности (рис.1). Докажите, что суммарная площадь попарно общих частей этих кругов равна площади части исходного круга, лежащей вне рассматриваемых четырёх кругов.

   Решение

Три сферы, радиусы которых равны , 1 и 1, попарно касаются друг друга. Через прямую, содержащую центры A и B второй и третьей сфер, проведена плоскость γ так, что центр O первой сферы удалён от этой плоскости на расстояние 1. Найдите угол между проекциями прямых OA и OB на плоскость γ и сравните его с arccos .

   Решение

В треугольнике ABC, стороны которого a, b и c даны, проведена параллельно AC прямая MN так, что  AM = BN.  Найдите MN.

   Решение

Пусть P(x) – многочлен со старшим коэффициентом 1, а последовательность целых чисел  a₁, a₂, ...  такова, что  P(a₁)= 0,  P(a₂) = a₁,  P(a₃) = a₂  и т. д. Числа в последовательности не повторяются. Какую степень может иметь P(x)?

   Решение

Прямая, проходящая через вершину основания равнобедренного треугольника, делит его площадь пополам, а периметр треугольника делит на части длиной 4 и 6. Найдите площадь треугольника и укажите, где лежит центр описанной окружности: внутри или вне треугольника.

   Решение

Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 462]      

Основание треугольника равно 36. Прямая, параллельная основанию, делит площадь треугольника пополам.
Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого между сторонами треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC площади 1. На медианах AK, BL и CN взяты точки P, Q и R так, что  AP = PK,  BQ : QL = 1 : 2,  CR : RN = 5 : 4.  Найдите площадь треугольника PQR.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что площадь четырехугольника, образованного серединами сторон выпуклого четырехугольника ABCD, равна половине площади ABCD.
б) Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника равны, то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.

Прислать комментарий

Решение

Правильный треугольник со стороной 1 разрезан произвольным образом на равносторонние треугольники, в каждый из которых вписан круг.
Найдите сумму площадей этих кругов.

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD отмечены середины противоположных сторон BC и AD– точки M и N. Диагональ AC проходит через середину отрезка MN. Найдите площадь АВСD, если площадь треугольника АВС равна S.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 462]