Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 12 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На неравных сторонах AB и AC треугольника ABC внешним образом построены равнобедренные треугольники AC1B и AB1C с углом φ при вершине, O – точка серединного перпендикуляра к отрезку BC, равноудалённая от точек B1 и C1. Докажите, что  ∠B1OC1 = 180° – φ.

Вниз   Решение


В треугольнике ABC, таком, что  AB = BC = 4  и   AC = 2,  проведены биссектриса AA1, медиана BB1 и высота CC1.
Найдите площадь треугольника, образованного пересечением прямых:   а) AC, AA1 и CC1;   б) AA1, BB1 и CC1.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC даны длины сторон AB = 8, BC = 6 и биссектриса BD = 6. Найдите длину медианы AE.

ВверхВниз   Решение


В трапеции CDEF ( DE$ \Vert$CF) известно, что CF = 2 . DE. На сторонах CD и EF взяты соответственно точки K и L, CK : KD = 3 : 2, EL : LF = 5 : 3. В каком отношении прямая KL делит площадь трапеции?.

ВверхВниз   Решение


Найдите угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса, если известно, что существуют три образующие боковой поверхности конуса, попарно перпендикулярные друг другу.

ВверхВниз   Решение


Вневписанная окружность треугольника ABC касается его стороны BC в точке K, а продолжения стороны AB – в точке L. Другая вневписанная окружность касается продолжений сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Прямые KL и MN пересекаются в точке X. Докажите, что CX – биссектриса угла ACN.

ВверхВниз   Решение


Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна 6, двугранный угол между боковыми гранями равен arccos 7/32. Точки A1 и B1 – середины рёбер AD и BD соответственно, BC1 – высота в треугольнике DBC. Найдите:
  1) угол между прямыми AB и B1C1;
  2) площадь треугольника A1B1C1;
  3) расстояние от точки B до плоскости A1B1C1;
  4) радиус вписанного в пирамиду A1B1C1D шара.

ВверхВниз   Решение


На трёх отрезках OA, OB и OC одинаковой длины (точка B лежит внутри угла AOC) как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не содержащего точку O, равна половине площади (обычного) треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение


В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота равна диагонали основания ABCD . Через вершину A параллельно прямой BD проведена плоскость, касающаяся вписанного в пирамиду шара. Найдите отношение площади сечения к площади основания пирамиды.

ВверхВниз   Решение


Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: P=σ ST4 , где σ = 5,7· 10-8  — числовой коэффициент, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = · 1015 м2 , а излучаемая ею мощность P не менее 46,17· 1024 , определите наименьшую возможную температуру этой звезды.

ВверхВниз   Решение


Клетчатый прямоугольник разбит на двухклеточные доминошки. В каждой доминошке провели одну из двух диагоналей. Оказалось, что никакие диагонали не имеют общих концов. Докажите, что ровно два из четырёх углов прямоугольника являются концами диагоналей.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC отрезок AD – биссектриса,  AD = l,  AB = c,  AC = b.  Найдите угол A.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 518]      



Задача 102313

Темы:   [ Поворот ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

При повороте треугольника EFG на угол  arccos ⅓  вокруг точки O, лежащей на стороне EG, вершина F переходит в вершину E, а вершина G – в точку H, лежащую на стороне FG. Найдите отношение, в котором точка O делит сторону EG.

Прислать комментарий     Решение

Задача 102369

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Около окружности радиуса 3 описана равнобедренная трапеция ABCD  (BC || AD),  площадь которой равна 48. Окружность касается сторон AB и CD в точках K и L. Найдите KL.

Прислать комментарий     Решение

Задача 102386

Темы:   [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC отрезок AD – биссектриса,  AD = l,  AB = c,  AC = b.  Найдите угол A.

Прислать комментарий     Решение

Задача 102387

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Из точки A проведены к окружности две касательные (M и N – точки касания) и секущая, пересекающая эту окружность в точках B и C, а хорду MN – в точке P,  AB : BC = 2 : 3.  Найдите  AP : PC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 102388

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Окружность касается сторон угла ABC в точках A и C. Прямая BN пересекает эту окружность в точках M и N, а отрезок AC – в точке K,  BM : MN = 3 : 5.
Найдите  MK : KN.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 518]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .