Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Треугольники >> Подобные треугольники >> Две пары подобных треугольников
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 23 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Шаповалов А.В.

Числа от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число.
Какое число стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором – 1?

Вниз   Решение

Точка M находится на расстояниях 5 и 4 от двух параллельных прямых m и n и на расстоянии 3 от плоскости, проходящей через эти прямые. Найдите расстояние между прямыми m и n .

ВверхВниз   Решение

Можно ли расположить в пространстве четыре попарно перпендикулярные прямые?

ВверхВниз   Решение

При каких целых n число  n4 + 4  – составное?

ВверхВниз   Решение

Предположим, что нашлись 15 простых чисел, образующих арифметическую прогрессию с разностью d. Докажите, что  d > 30000.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что 3, 5 и 7 являются единственной тройкой простых чисел-близнецов.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что при  n > 2  числа  2n – 1  и  2n + 1  не могут быть простыми одновременно.

ВверхВниз   Решение

Найдите все простые числа, которые равны сумме двух простых чисел и разности двух простых чисел.

ВверхВниз   Решение

Автор: Произволов В.В.

Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

ВверхВниз   Решение

Автор: Константинов Н.Н.

В некотором государстве человек может быть зачислен в полицию только в том случае, если он выше ростом чем 80% (или больше) его соседей. Чтобы доказать свое право на зачисление в полицию, человек сам называет число R (радиус), после чего его "соседями" считаются все, кто живёт на расстоянии меньше R от него (число соседей, разумеется, должно быть не нулевое). В этом же государстве человек освобождается от службы в армии только в том случае, если он ниже ростом, чем 80% (или больше) его соседей. Определение "соседей" аналогично; человек сам называет число r (радиус) и т. д., причём R и r не обязательно совпадают. Может ли случиться, что не менее 90% населения имеют право на зачисление в полицию и одновременно не менее 90% населения освобождены от армии? (Каждый человек проживает в определенной точке плоскости.)

ВверхВниз   Решение

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f (x) = sin6x + cos6x.

ВверхВниз   Решение

Решите уравнение tg x + tg 2x + tg 3x + tg 4x = 0.

ВверхВниз   Решение

Решите уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

ВверхВниз   Решение

Решите уравнение sin4x + cos4x = a.

ВверхВниз   Решение

Пусть $ \alpha$ и $ \beta$ — различные корни уравнения a cos x + b sin x = c. Докажите, что

cos2$\displaystyle {\frac{\alpha-\beta}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{c^2}{a^2+b^2}}$.


ВверхВниз   Решение

Пусть MC – перпендикуляр к плоскости треугольника ABC . Верно ли, что AMB < ACB ?

ВверхВниз   Решение

Существует ли правильный многоугольник, в котором ровно половина диагоналей параллельна сторонам?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

Дан правильный девятиугольник.
Сколькими способами можно выбрать три его вершины так, чтобы они являлись вершинами равнобедренного треугольника?

ВверхВниз   Решение

Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.Докажите, что ортоцентрическом тетраэдре общие перпендикуляры каждой пары противоположных рёбер пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение

  а) Каких чисел больше среди целых чисел первой тысячи (включая и 1000): в записи которых есть единица, или остальных?

  б) Каких семизначных чисел больше: тех, в записи которых есть единица, или остальных?

ВверхВниз   Решение

Автор: Акопян А.В.

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC лучи AB и DC пересекаются в точке K. Точки P и Q – центры описанных окружностей треугольников ABD и BCD. Докажите, что  ∠PKA = ∠QKD.

ВверхВниз   Решение

Точка F лежит на продолжении стороны BC параллелограмма ABCD за точку C. Отрезок AF пересекает диагональ BD в точке E, а сторону CD – в точке G. Известно, что  AE = 2  и  GF = 3.  Найдите отношение площадей треугольников BAE и EDG.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 122]      

  с решениями  

Задача 102526

Темы:   [ Две пары подобных треугольников ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В прямоугольнике ABCD на сторонах AB и AD выбраны соответственно точки E и F так, что  AE : EB = 3 : 1,  AF : FD = 1 : 2.
Найдите отношение  EO : OD,  где O – точка пересечения отрезков DE и CF.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108503

Темы:   [ Две пары подобных треугольников ]
[ Трапеции (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Точки M и N находятся на боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD, прямая MN параллельна AD, а отрезок MN делится диагоналями трапеции на три равные части. Найдите длину отрезка MN, если  AD = a,  BC = b,  а точка пересечения диагоналей трапеции лежит внутри четырёхугольника MBCN.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116218

Темы:   [ Две пары подобных треугольников ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Трапеции (прочее) ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Автор: Акопян А.В.

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC лучи AB и DC пересекаются в точке K. Точки P и Q – центры описанных окружностей треугольников ABD и BCD. Докажите, что  ∠PKA = ∠QKD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 102458

Темы:   [ Две пары подобных треугольников ]
[ Отношение площадей подобных треугольников ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Точка F лежит на продолжении стороны BC параллелограмма ABCD за точку C. Отрезок AF пересекает диагональ BD в точке E, а сторону CD – в точке G. Известно, что  AE = 2  и  GF = 3.  Найдите отношение площадей треугольников BAE и EDG.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53797

Темы:   [ Две пары подобных треугольников ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В треугольнике ABC на основании AC взяты точки P и Q так, что  AP < AQ.  Прямые BP и BQ делят медиану AM на три равные части. Известно, что  PQ = 3.
Найдите AC.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 122]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .