Версия для печати
Убрать все задачи

---

Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а все углы различны. Докажите, что максимальный и минимальный углы прилегают к одной стороне пятиугольника.

   Решение

---

Петя может располагать три отрезка в пространстве произвольным образом. После того как Петя расположит эти отрезки, Андрей пытается найти плоскость и спроектировать на нее отрезки так, чтобы проекции всех трех были равны. Всегда ли ему удастся это сделать, если:
а) три отрезка имеют равные длины?
б) длины двух отрезков равны между собой и не равны длине третьего?

   Решение

---

Числа a, b, c таковы, что  a²(b + c) = b²(a + c) = 2008  и  a ≠ b.  Найдите значение выражения  c²(a + b).

   Решение

---

Назовём усложнением числа приписывание к нему одной цифры в начало, в конец или между любыми двумя его цифрами. Существует ли натуральное число, из которого невозможно получить полный квадрат с помощью ста усложнений?

   Решение

---

Докажите, что при n 1 и m 0 выполняется равенство

Попробуйте доказать его двумя способами: при помощи метода математической индукции и при помощи интерпретации чисел Фибоначчи из задачи 3.109. Докажите также, что тождество Кассини (см. задачу 3.112) является частным случаем этого равенства.

   Решение

---

Дана геометрическая прогрессия. Известно, что её первый, десятый и тридцатый члены являются натуральными числами.
Верно ли, что её двадцатый член также является натуральным числом?

   Решение

---

Определите, на какую наибольшую натуральную степень числа 2007 делится 2007!

   Решение

---

Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.

   Решение

---

Уголком размера n×m , где m,n2 , называется фигура, получаемая из прямоугольника размера n×m клеток удалением прямоугольника размера (n-1)×(m-1) клеток. Два игрока по очереди делают ходы, заключающиеся в закрашивании в уголке произвольного ненулевого количества клеток, образующих прямоугольник или квадрат. Пропускать ход или красить одну клетку дважды нельзя. Проигрывает тот, после чьего хода все клетки уголка окажутся окрашенными. Кто из игроков победит при правильной игре?

   Решение

---

Окружности с центрами O1 и O2 имеют общую хорду AB , AO1B = 120^o . Отношение длины второй окружности к длине первой равно . Найдите угол AO2B .

   Решение

---

Слово – любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов можно составить из слов
  а) ВЕКТОР;
  б) ЛИНИЯ;
  в) ПАРАБОЛА;
  г) БИССЕКТРИСА;
  д) МАТЕМАТИКА.

   Решение

---

На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка. Как разрезать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась ровно пополам?

   Решение

---

Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

   Решение

---

Доказать, что если в треугольнике ABC со стороной  BC = 1  радиус r_a вневписанной окружности вдвое больше радиуса r вписанной окружности, то площадь треугольника численно равна 2r.

   Решение

---

Доказать, что произведение четырех последовательных целых чисел в сумме с единицей даёт полный квадрат.

   Решение

---

В треугольнике ABC известно, что AB = AC, высота AH равна 9, а диаметр описанной окружности равен 25. Найдите радиус вписанной окружности.

   Решение

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 213]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 102319

Темы:   [ Площадь круга, сектора и сегмента ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Докажите или опровергните следующее утверждение: круг площадью можно поместить внутрь треугольника со сторонами 3, 4 и 5.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 102493

Темы:   [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 20, а диаметр описанной окружности равен 25. Найдите радиус вписанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 102494

Темы:   [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В треугольнике ABC известно, что AB = AC, высота AH равна 9, а диаметр описанной окружности равен 25. Найдите радиус вписанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108033

Темы:   [ Неравенство треугольника ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведена медиана AM.
Может ли радиус вписанной окружности треугольника ABM быть ровно в два раза больше радиуса вписанной окружности треугольника ACM?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108971

Темы:   [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Доказать, что если в треугольнике ABC со стороной  BC = 1  радиус r_a вневписанной окружности вдвое больше радиуса r вписанной окружности, то площадь треугольника численно равна 2r.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 213]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями