Каталог по темам

Задачи

Страница: << 61 62 63 64 65 66 67 >> [Всего задач: 352]

Задача 64350

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Богданов И.И.

На сторонах остроугольного треугольника ABC вне него построены квадраты CAKL и CBMN. Прямая CN пересекает отрезок AK в точке X, а прямая CL пересекает отрезок BM в точке Y. Точка P, лежащая внутри треугольника ABC, является точкой пересечения описанных окружностей треугольников KXN и LYM. Точка S – середина отрезка AB. Докажите, что ∠ACS = ∠BCP.

Прислать комментарий

Решение

Задача 103940

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Две пары подобных треугольников	]
	[	Проективные преобразования прямой	]
	[	Окружность Аполлония	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Протасов В.Ю.

На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдётся точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108136

Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Длины и периметры (геометрические неравенства)	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Берлов С.Л.

Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно, причём 2∠MON = ∠AOC. Докажите, что периметр треугольника MBN не меньше стороны AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108249

Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Сонкин М.

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке K. Вторая окружность, также с центром O, пересекает все стороны треугольника ABC. Пусть E и F – её точки пересечения со сторонами соответственно AB и BC, ближайшие к вершине B; B₁ и B₂ – точки её пересечения со стороной AC, B₁ – ближе к A. Докажите, что точки B, K и точка P пересечения отрезков B₂E и B₁F лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116898

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Авторы: Акопян А.В., Швецов Д.В.

Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором ∠B = 120°. На продолжениях сторон AB и CB за точку B взяли точки P и Q соответственно так, что лучи AQ и CP пересекаются под прямым углом. Докажите, что ∠PQB = 2∠PCQ.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 61 62 63 64 65 66 67 >> [Всего задач: 352]