Равносторонний треугольник ABC со стороной 3 вписан в окружность. Точка D лежит на окружности, причём хорда AD равна . Найдите хорды BD и CD .

   Решение

2n шахматистов дважды провели круговой турнир (за победу начисляется одно очко, за ничью – ½, за поражение – 0).
Докажите, что если сумма очков каждого изменилась не менее чем на n, то она изменилась ровно на n.

   Решение

Первая окружность с центром в точке A касается сторон угла KOL в точках K и L. Вторая окружность с центром в точке B касается отрезка OK, луча LK и продолжения стороны угла OL за точку O. Известно, что отношение радиуса первой окружности к радиусу второй окружности равно . Найдите отношение отрезков OB и OA.

   Решение

В треугольнике ABC окружность, проходящая через вершины A и B, касается прямой BC, а окружность, проходящая через вершины B и C, касается прямой AB и второй раз пересекает первую окружность в точке K. Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что угол BKO – прямой.

   Решение

Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Докажите, что произведение этих чисел предвтавляет собой точный квадрат.

   Решение

В точках A и B пересечения двух окружностей касательные к этим окружностям взаимно перпендикулярны. Пусть M — произвольная точка на одной из окружностей, лежащая внутри другой окружности. Продолжим отрезки AM и BM до пересечения в точках X и Y с окружностью, содержащей M внутри себя. Докажите, что XY — диаметр этой окружности.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум данным сторонам, если известно, что медианы, проведённые к этим сторонам, пересекаются под прямым углом.

   Решение

Пусть A0 – середина стороны BC треугольника ABC , а A' – точка касания с этой стороной вписанной окружности. Построим окружность с центром в точке A0 и проходящую через A' . На других сторонах построим аналогичные окружности. Докажите, что если окружность касается описанной окружности в точке дуги BC , не содержащей A , то ещё одна из построенных окружностей касается описанной.

   Решение

Основания трапеции равны 17 и 25. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей.

   Решение

Диагонали четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$, причём $S^2_{\Delta ABP} + S^2_{\Delta CDP} = S^2_{\Delta BCP} + S^2_{\Delta ADP}$. Докажите, что $P$ — середина одной из диагоналей.

   Решение

Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABC пересекает продолжение стороны BC за точку B в точке K, L – середина AC, а точка M на отрезке AB такова, что  ∠AKM = ∠CKL.  Докажите, что  MA = MB.

   Решение

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки K и L соответственно, причём  ∠KCB = ∠ LAB = α.  Из точки B опущены перпендикуляры BD и BE на прямые AL и CK соответственно. Точка F – середина стороны AC. Найдите углы треугольника DEF.

   Решение

На столе лежит кубик, на его верхней стороне нарисована картинка. Кубик несколько раз перекатывали по столу через ребро, после чего он вновь оказался на прежнем месте. Могло ли оказаться, что картинка повернута а)на 180 градусов по сравнению с исходным положением; б) на 90 градусов?

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 54]      

Сфера с центром в точке O проходит через вершины A , B и C треугольной пирамиды ABCD и пересекает прямые AD , BD и CD в точках K , L и M соответственно. Известно, что AD = 10 , BC:BD = 3:2 и AB:CD = 4:11 . Проекциями точки O на плоскости ABD, BCD и CAD являются середины рёбер AB , BC и AC соответственно. Расстояние между серединами рёбер AB и CD равно 13. Найдите периметр треугольника KLM .

Прислать комментарий

Решение

Сфера с центром в точке O проходит через вершины K , L и M треугольной пирамиды KLMN и пересекает рёбра KN , LN и MN в точках A , B , C соответственно. Известно, что NL = 14 , KN = 16 и MN:KL = 2:3 . Проекциями точки O на плоскости KLN , LMN и KMN являются середины рёбер KL , LM и KM соответственно. Расстояние между серединами рёбер KL и MN равно . Найдите периметр треугольника ABC .

Прислать комментарий

Решение

Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Докажите, что тетраэдр ABCD ортоцентрический тогда и только тогда, когда две пары его противоположных рёбер перпендикулярны, т.е. AB CD и AD BC (в этом случае рёбра третьей пары также перпендикулярны, т.е. AC BD ).

Прислать комментарий

Решение

На столе лежит кубик, на его верхней стороне нарисована картинка. Кубик несколько раз перекатывали по столу через ребро, после чего он вновь оказался на прежнем месте. Могло ли оказаться, что картинка повернута а)на 180 градусов по сравнению с исходным положением; б) на 90 градусов?

Прислать комментарий

Решение

Тетраэдр называется равногранным, если все его грани – равные между собой треугольники. Докажите, что все грани равногранного тетраэдра – остроугольные треугольники.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 54]