Версия для печати
Убрать все задачи

---

За два года завод снизил объём выпускаемой продукции на 51%. При этом каждый год объём выпускаемой продукции снижался на одно и то же число процентов. На сколько?

   Решение

---

Окружность с центром  I касается сторон  AB , BC , AC неравнобедренного треугольника  ABC в точках C₁ , A₁ , B₁ соответственно. Окружности  ω_B и  ω_C вписаны в четырехугольники  BA₁IC₁ и  CA₁IB₁ соответственно. Докажите, что общая внутренняя касательная к  ω_B и  ω_C , отличная от  IA₁ , проходит через точку  A .

   Решение

---

В семейном альбоме есть десять фотографий. На каждой из них изображены три человека: в центре стоит мужчина, слева от мужчины – его сын, а справа – его брат. Какое наименьшее количество различных людей может быть изображено на этих фотографиях, если известно, что все десять мужчин, стоящих в центре, различны?

   Решение

---

Точки Q и R расположены соответственно на сторонах MN и MP треугольника MNP, причём MQ = 3, MR = 4. Найдите площадь треугольника MQR, если MN = 4, MP = 5, NP = 6.

   Решение

---

На сторонах AB , BC и AC треугольника ABC взяты точки C' , A' и B' соответственно. Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна

,
где R – радиус описанной окружности треугольника ABC .

   Решение

---

Дан треугольник ABC со сторонами AB = 6, AC = 4, BC = 8. Точка D лежит на стороне AB, а точка E — на стороне AC, причём AD = 2, AE = 3. Найдите площадь треугольника ADE.

   Решение

---

Последовательность натуральных чисел a_n строится следующим образом: a₀ – некоторое натуральное число;  a_n+1 = ⅕ a_n,  если a_n делится на 5;
a_n+1 = [ a_n],  если a_n не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность a_n возрастает.

   Решение

---

Все вершины треугольника ABC лежат внутри квадрата K . Докажите, что если все их отразить симметрично относительно точки пересечения медиан треугольника ABC , то хотя бы одна из полученных трех точек окажется внутри K .

   Решение

---

В начале года винтики, шпунтики и гаечки продавались по одинаковой цене 1 рубль за 1 кг. 27 февраля Верховный Совет СССР принял закон о повышении цены на винтики на 50% и снижении цены на шпунтики на 50%. 28 февраля Верховный Совет РСФСР принял закон о снижении цены на винтики на 50% и повышении цены на шпунтики на 50%. Какой товар будет самым дорогим и какой самым дешёвым в марте?

   Решение

---

Даны пять различных положительных чисел, сумма квадратов которых равна сумме всех десяти их попарных произведений.

  а) Докажите, что среди пяти данных чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.
  б) Докажите, что таких троек найдется не менее шести (тройки, отличающиеся только порядком чисел, считаем одинаковыми).

   Решение

---

На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC расположены точки соответственно M и N так, что = m , = n . Прямая MN пересекает высоту BD треугольника в точке O . Найдите отношение .

   Решение

---

Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.
Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.

   Решение

---

Пусть a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство  a³ + b³ + 3abc > c³.

   Решение

---

Точка M делит среднюю линию треугольника ABC, параллельную стороне BC, на отрезки, один из которых в три раза длиннее другого. Точка N делит сторону BC на отрезки, один из которых в три раза длиннее другого. В каком отношении прямая MN делит площадь треугольника ABC?

   Решение

---

У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя повторяет операцию, и т. д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66014

Темы:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Существует ли треугольник, для сторон x, y, z которого выполнено соотношение  x³ + y³ + z³ = (x + y)(y + z)(z + x)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73542

Темы:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

a, b, c – длины сторон треугольника. Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57314

Тема:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 8

a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Пусть  p = + + и  q = + + . Докажите, что | p - q| < 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115986

Темы:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Доказательство от противного ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Даны пять различных положительных чисел, сумма квадратов которых равна сумме всех десяти их попарных произведений.

  а) Докажите, что среди пяти данных чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.
  б) Докажите, что таких троек найдется не менее шести (тройки, отличающиеся только порядком чисел, считаем одинаковыми).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105093

Темы:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ] [ Кубические многочлены ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя повторяет операцию, и т. д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями