- Действительные числа (149 задач)
- Числовые последовательности (75 задач)
- Функции одной переменной. Непрерывность (98 задач)
- Производная (92 задачи)
- Интеграл (9 задач)
- Ряды (8 задач)
- Последовательности и ряды функций (5 задач)
- Функции нескольких переменных (5 задач)
- Математический анализ (прочее) (1 задача)
Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
Найдите наименьшее натуральное n, для которого существует такое m, что
Дан угол и две точки внутри него. Постройте окружность, проходящую через эти точки и высекающую на сторонах угла равные отрезки.
Дан треугольник с периметром, равным 24. Найдите периметр треугольника с вершинами в серединах сторон данного.
Компьютеры 1, 2, 3, ..., 100 соединены в кольцо (первый со вторым, второй с третьим, ..., сотый с первым). Хакеры подготовили 100 вирусов, занумеровали их и в различное время в произвольном порядке запускают каждый вирус на компьютер, имеющий тот же номер. Если вирус попадает на незаражённый компьютер, то он заражает его и переходит на следующий в цепи компьютер с большим номером до тех пор, пока не попадёт на уже заражённый компьютер (с компьютера 100 вирус переходит на компьютер 1). Тогда вирус погибает, а этот компьютер восстанавливается. Ни на один компьютер два вируса одновременно не попадают. Сколько компьютеров будет заражено в результате атаки этих 100 вирусов?
Бумажный квадрат был проколот в 1965 точках. Из точек-проколов и вершин квадрата никакие три не лежат на одной прямой. Потом сделали несколько прямолинейных не пересекающихся между собой разрезов, каждый из которых начинался и кончался только в проколотых точках или вершинах квадрата. Оказалось, что квадрат разрезан на треугольники, внутри которых проколов нет. Сколько было сделано разрезов и сколько получилось треугольников?
Найдите геометрическое место точек M, из которых данный отрезок AB виден под прямым углом.
Продолжения равных хорд AB и CD окружности соответственно за
точки B и C пересекаются в точке P.
Докажите, что треугольники APD и BPC равнобедренные.
В треугольник, у которого основание равно 30, а высота – 10, вписан прямоугольный равнобедренный треугольник так, что его гипотенуза параллельна основанию данного треугольника, а вершина прямого угла лежит на этом основании. Найдите гипотенузу.
В круге проведены два перпендикулярных диаметра. Рассмотрим четыре круга, диаметрами которых служат четыре получившихся радиуса исходной окружности (рис.1). Докажите, что суммарная площадь попарно общих частей этих кругов равна площади части исходного круга, лежащей вне рассматриваемых четырёх кругов.
Три сферы, радиусы которых равны , 1 и 1,
попарно касаются друг друга. Через прямую, содержащую
центры A и B второй и третьей сфер, проведена плоскость
γ так, что центр O первой сферы удалён от этой
плоскости на расстояние 1. Найдите угол между проекциями
прямых OA и OB на плоскость γ и сравните его
с arccos
.
В треугольнике ABC, стороны которого a, b и c даны, проведена параллельно AC прямая MN так, что AM = BN. Найдите MN.
Пусть P(x) – многочлен со старшим коэффициентом 1, а последовательность целых чисел a1, a2, ... такова, что P(a1)= 0, P(a2) = a1, P(a3) = a2 и т. д. Числа в последовательности не повторяются. Какую степень может иметь P(x)?
Задачи Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 418]
Задача 98078 |
|
|
На плоскости расположено 20 точек, никакие три из которых не лежат на одной
прямой, из них 10 синих и 10 красных.
Докажите, что можно провести прямую, по каждую сторону которой лежит пять синих и пять красных точек.
|
|
Решение |
Задача 98215 |
|
|
Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями: xn+1 = 1 – |1 – 2xn|, причём 0 ≤ x1 ≤ 1.
а) Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, когда x1 рационально.
б) Сколько существует значений x1, для которых эта последовательность – периодическая с периодом T (для каждого T = 2, 3, ...)?
|
|
|
Решение |
Задача 98621 |
|
|
Дан многочлен P(x) с действительными коэффициентами. Бесконечная
последовательность различных натуральных чисел a1, a2, a3, ... такова, что
P(a1) = 0, P(a2) = a1, P(a3) = a2, и т.д. Какую степень может иметь P(x)?
|
|
|
Решение |
Задача 105158 |
|
|
Пусть P(x) – многочлен со старшим коэффициентом 1, а последовательность целых чисел a1, a2, ... такова, что P(a1)= 0, P(a2) = a1, P(a3) = a2 и т. д. Числа в последовательности не повторяются. Какую степень может иметь P(x)?
|
|
Решение |
Задача 109816 |
|
|
Какое наибольшее конечное число корней может иметь уравнение
где a1 , a2 , a50 , b1 , b2 , b50 – различные числа?
|
|
|
Решение |
Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 418]
