Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что для любого числа p > 2 найдется такое число , что

   Решение

---

На плоскости нарисован чёрный квадрат. Имеется семь квадратных плиток того же размера. Нужно положить их на плоскость так, чтобы они не перекрывались и чтобы каждая плитка покрывала хотя бы часть чёрного квадрата (хотя бы одну точку внутри него). Как это сделать?

   Решение

---

Существует ли треугольник, в котором одна сторона равна какой-то из его высот, другая – какой-то из биссектрис, а третья – какой-то из медиан?

   Решение

---

На доске n×n расставлено  n – 1  фишек так, что никакие две из них не стоят на соседних (по стороне) клетках.
Докажите, что одну из них можно передвинуть на соседнюю клетку так, чтобы снова никакие две фишки не стояли на соседних клетках.

   Решение

---

На планете Тау Кита суша занимает больше половины всей площади. Доказать, что таукитяне могут прорыть через центр планеты шахту, соединяющую сушу с сушей.

   Решение

---

Может ли быть так, что   а)  σ(n) > 3n;   б)  σ(n) > 100n?

   Решение

---

Имеются плашки (вырезанные из картона прямоугольники) размера 2×1. На каждой плашке нарисована одна диагональ. Есть плашки двух сортов, так как диагональ можно расположить двумя способами, причём плашек каждого сорта имеется достаточно много. Можно ли выбрать 18 плашек и сложить из них квадрат 6×6 так, чтобы концы диагоналей нигде не совпали?

   Решение

---

Какое число нужно вычесть из числителя дроби ⁵³⁷/₄₆₃ и прибавить к знаменателю, чтобы после сокращения получить ¹/₉?

   Решение

---

В равнобедренном треугольнике ABC высоты AD и CE, опущенные на боковые стороны, образуют угол AMC, равный 48°. Найдите углы треугольника ABC.

   Решение

---

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки E и F являются серединами сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE, AF и EF делят четырёхугольник на четыре треугольника, площади которых равны (в каком-то порядке) последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника ABD?

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 80]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111641

Темы:   [ Неравенства с площадями ] [ Площадь четырехугольника ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Египтяне вычисляли площадь выпуклого четырёхугольника по формуле (a+c)(b+d)/4 , где a , b , c , d  — длины сторон в порядке обхода. Найдите все четырёхугольники, для которых эта формула верна.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55206

Темы:   [ Неравенства с площадями ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Точки M и N лежат на сторонах соответственно AB и AC треугольника ABC, причём AM = CN и AN = BM. Докажите, что площадь четырёхугольника BMNC по крайней мере в три раза больше площади треугольника AMN.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78139

Темы:   [ Неравенства с площадями ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Проекции многоугольника на ось OX, биссектрису 1-го и 3-го координатных углов, ось OY и биссектрису 2-го и 4-го координатных углов равны соответственно 4, 3, 5, 4. Площадь многоугольника — S. Доказать, что S17, 5.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108118

Темы:   [ Неравенства с площадями ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Средняя линия треугольника ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки E и F являются серединами сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE, AF и EF делят четырёхугольник на четыре треугольника, площади которых равны (в каком-то порядке) последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника ABD?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108623

Темы:   [ Неравенства с площадями ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На сторонах AB, BC, CD и DA произвольного четырёхугольника ABCD взяты точки K, L, M и N соответственно. Обозначим через S₁, S₂, S₃ и S₄ площади треугольников AKN, BKL, CLM и DMN соответственно. Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 80]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями