ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи a и b – две данные стороны треугольника. D – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC. Доказать, что существует бесконечно много таких составных n, что 3n–1 – 2n–1 кратно n. Грани выпуклого многогранника – подобные треугольники. Окружность радиуса 2 проходит через середины трёх сторон треугольника ABC, в котором углы при вершинах A и B равны 30° и 45° соответственно. При каких натуральных n найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа a и b, что оба числа a + b и an + bn – целые? Существуют ли такие 2013 различных натуральных чисел, что сумма каждых 2012 из них не меньше квадрата оставшегося? В шестиугольнике ABCDEF AB = BC, CD = DE, EF = FA и ∠A = ∠C = ∠E. Пятизначное число называется неразложимым, если оно не раскладывается в произведение двух трёхзначных чисел. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AHA,
BHB и CHC. |
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 243]
Внутри треугольника ABC взята точка P так, что ∠ABP = ∠ACP, а ∠CBP = ∠CAP. Докажите, что P – точка пересечения высот треугольника ABC.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AHA,
BHB и CHC.
Вокруг остроугольного треугольника ABC описана окружность. Продолжения высот треугольника, проведённых из вершин A и C, пересекают окружность в точках E и F соответственно, D произвольная точка на (меньшей) дуге AC, K – точка пересечения DF и AB, L – точка пересечения DE и BC. Докажите, что прямая KL проходит через ортоцентр треугольника ABC.
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. На отрезке A1C1 выбрали такие точки A2 и C2, что отрезок B1A2 делится высотой CC1 пополам и пересекает высоту AA1 в точке K, а отрезок B1C2 делится высотой AA1 пополам и пересекает высоту CC1 в точке L. Докажите, что KL || AC.
На сторонах AB, AC, BC равностороннего треугольника ABC, сторона которого равна 2, выбрали точки C1, B1, A1 соответственно.
Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 243]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке