Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Треугольники
>>
Признаки и свойства равнобедренного треугольника.
Фильтр
Выбрано 7 задач Убрать все задачи
Дан трехгранный угол с вершиной O. Можно ли найти такое плоское сечение ABC, чтобы углы OAB, OBA, OBC, OCB, OAC, OCA были острыми?
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 4, точки E и F ─ середины рёбер AB и B₁C₁ соответственно, а точка P расположена на ребре CD так, что PD = 3PC. Найдите
1) расстояние от точки F до прямой AP;
2) расстояние между прямыми EF и AP;
3) расстояние от точки A₁ до плоскости треугольника EFP.
Даны два натуральных числа m и n. Выписываются все различные
делители числа m – числа a, b, ..., k – и все различные делители числа n – числа s, t, ..., z. (Само число и 1 тоже включаются в число делителей.) Оказалось, что a + b + ... + k = s + t + ... + z и 1/a + 1/b + ... + 1/k = 1/s + 1/t + ... + 1/z.
Доказать, что m = n.
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты
точки A1, B1 и C1; прямые B1C1, BB1 и CC1 пересекают
прямую AA1 в точках M, P и Q соответственно. Докажите, что:
а)
A1M/MA = (A1P/PA) + (A1Q/QA);
б) если P = Q, то
MC1 : MB1 = (BC1/AB) : (CB1/AC).
Две фирмы по очереди нанимают программистов, среди которых есть 11 гениев. Первого программиста каждая фирма выбирает произвольно, а каждый следующий должен быть знаком с кем-то из ранее нанятых данной фирмой. Если фирма не может нанять программиста по этим правилам, она прекращает приём, а другая может продолжать. Список программистов и их знакомств заранее известен, включая информацию о том, кто гении. Могут ли знакомства быть устроены так, что фирма, вступающая в игру второй, сможет нанять 10 гениев, как бы ни действовала первая фирма?
а) Докажите, что момент инерции относительно
центра масс системы точек с единичными массами равен
aij2, где n — число точек,
aij — расстояние между точками с номерами i и j.
б) Докажите, что момент инерции относительно центра
масс системы точек с массами
m1,..., mn, равен
mimjaij2, где
m = m1 +...+ mn,
aij — расстояние между точками с номерами i и j.
Вписанная окружность треугольника ABC (AB > BC) касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно, RS – средняя линия, параллельная стороне AB, T – точка пересечения прямых PQ и RS. Докажите, что точка T лежит на биссектрисе угла B треугольника ABC.
Задачи Страница: << 107 108 109 110 111 112 113 >> [Всего задач: 604]
Задача 66261 |
|
Пусть H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC. На касательной в точке H к описанной окружности ωA треугольника BHC взята точка XA, что AH = AXA и H ≠ XA. Аналогично определены точки XB и XC. Докажите, что треугольник XAXBXC и ортотреугольник треугольника ABC подобны.
|
|
Решение |
Задача 108152 |
|
Вписанная окружность треугольника ABC (AB > BC) касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно, RS – средняя линия, параллельная стороне AB, T – точка пересечения прямых PQ и RS. Докажите, что точка T лежит на биссектрисе угла B треугольника ABC.
|
|
Решение |
Задача 108163 |
|
|
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Точка M лежит на прямой AB, причём ∠AMO = ∠MAD.
Докажите, что точка M равноудалена от точек C и D.
|
|
|
Решение |
Задача 108184 |
|
|
В равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) точка O – центр описанной окружности, точка I – центр вписанной окружности, а точка D на стороне BC такова, что прямые OD и BI перпендикулярны. Докажите, что прямые ID и AC параллельны.
|
|
|
Решение |
Задача 108643 |
|
|
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠A + ∠D = 120° и AB = BC = CD.
Докажите, что точка пересечения диагоналей равноудалена от вершин A и D.
|
|
|
Решение |
Страница: << 107 108 109 110 111 112 113 >> [Всего задач: 604]
