Квадрат с вершинами в узлах сетки и сторонами длиной 2009, идущими по линиям сетки, разрезали по линиям сетки на несколько прямоугольников.
Докажите, что среди них есть хотя бы один прямоугольник, периметр которого делится на 4.

   Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что площадь треугольника ODC (O – точка пересечения диагоналей) есть среднее пропорциональное между площадями треугольников BOC и AOD. Докажите, что ABCD – трапеция или параллелограмм.

   Решение

Пусть $P$ – произвольная точка на стороне $BC$ треугольника $ABC$, $K$ – центр вписанной окружности треугольника $PAB$, а $F$ – точка касания вписанной окружности треугольника $PAC$ со стороной $BC$. Точка $G$ на $CK$ такова, что $FG\parallel PK$. Найдите геометрическое место точек $G$.

   Решение

Весь комплект косточек домино, кроме 0-0, уложили так, как изображено на рисунке. Разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым  — одинаковые. Сумма очков в каждой строке равна 24. Попробуйте восстановить цифры.

   Решение

Треугольник ABC вписан в окружность S. Пусть A₀ – середина дуги BC окружности S, не содержащей точку A, C₀ – середина дуги окружности S, не содержащей точку C. Окружность S₁ с центром A₀ касается BC, окружность S₂ с центром C₀ касается AB. Докажите, что центр I вписанной в треугольник ABC окружности лежит на одной из общих внешних касательных к окружностям S₁ и S₂.

   Решение

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 117]      

Две окружности пересекаются в точках A и B. Пусть CD – их общая касательная (C и D – точки касания), а O_a, O_b – центры описанных окружностей треугольников CAD, CBD соответственно. Докажите, что середина отрезка O_aO_b лежит на прямой AB.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC провели биссектрисы BB' и CC', а затем стёрли весь рисунок, кроме точек A, B' и C'.
Восстановите треугольник ABC при помощи циркуля и линейки.

Прислать комментарий

Решение

Треугольник ABC вписан в окружность S. Пусть A₀ – середина дуги BC окружности S, не содержащей точку A, C₀ – середина дуги окружности S, не содержащей точку C. Окружность S₁ с центром A₀ касается BC, окружность S₂ с центром C₀ касается AB. Докажите, что центр I вписанной в треугольник ABC окружности лежит на одной из общих внешних касательных к окружностям S₁ и S₂.

Прислать комментарий

Решение

Точки A', B' и C' – середины сторон соответственно BC, CA и AB треугольника ABC, а BH – его высота.
Докажите, что если описанные окружности треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M, то  ∠ABM = ∠CBB'.

Прислать комментарий

Решение

Дан описанный четырёхугольник $ABCD$. Докажите, что точка пересечения диагоналей, центр вписанной окружности треугольника $ABC$ и центр вневписанной окружности треугольника $CDA$, касающейся стороны $AC$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 117]