Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Каждую сторону четырёхугольника в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на её длину. Оказалось, что новые концы построенных отрезков служат вершинами квадрата. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат.

б) Докажите, что если в результате такой же процедуры из некоторого n-угольника получается правильный n-угольник, то исходный многоугольник – правильный.

   Решение

Страница: << 269 270 271 272 273 274 275 >> [Всего задач: 1371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109629

Темы:   [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы. ] [ Покрытия ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Дан выпуклый многоугольник, никакие две стороны которого не параллельны. Для каждой из его сторон рассмотрим угол, под которым она видна из вершины, наиболее удалённой от прямой, содержащей эту сторону. Докажите, что сумма всех таких углов равна 180°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98443

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Четность и нечетность ] [ Деревья ] [ Доказательство от противного ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Замощения костями домино и плитками ] [ Раскраски ] [ Теорема Пика ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Ладья, делая ходы по вертикали и горизонтали на соседнее поле, за 64 хода обошла все поля шахматной доски 8×8 и вернулась на исходное поле. Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73637

Темы:   [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Метод ГМТ ] [ Системы точек ]

Сложность: 6 Классы: 8,9,10,11

Множество, состоящее из конечного числа точек плоскости, обладает следующим свойством: для любых двух его точек A и B существует такая точка С этого множества, что треугольник ABC равносторонний. Сколько точек может содержать такое множество?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108169

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Композиции гомотетий ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема о группировке масс ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

а) Каждую сторону четырёхугольника в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на её длину. Оказалось, что новые концы построенных отрезков служат вершинами квадрата. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат.

б) Докажите, что если в результате такой же процедуры из некоторого n-угольника получается правильный n-угольник, то исходный многоугольник – правильный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35236

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Соображения непрерывности ] [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Имеется пирог некоторой формы. Докажите, что его можно разрезать на четыре равные по массе части двумя прямолинейными перпендикулярными разрезами.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 269 270 271 272 273 274 275 >> [Всего задач: 1371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями