Версия для печати
Убрать все задачи

---

В угол вписаны три окружности $\Gamma_1$, $\Gamma_2$, $\Gamma_3$ (радиус $\Gamma_1$ наименьший, а радиус $\Gamma_3$ наибольший), притом $\Gamma_2$ касается $\Gamma_1$ и $\Gamma_3$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Пусть $l$ – касательная в точке $A$ к $\Gamma_1$. Рассмотрим все окружности $\omega$, касающиеся $\Gamma_1$ и $l$. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внутренних касательных к парам окружностей $\omega$ и $\Gamma_3$.

   Решение

---

Существует ли трехзначное число, равное произведению своих цифр?

   Решение

---

Найдите внутри треугольника ABC точку O, обладающую следующим свойством: для любой прямой, проходящей через O и пересекающей сторону AB в точке K и сторону BC в точке L, выполнено равенство p + q = 1, где p и q — данные положительные числа.

   Решение

---

В ромб ABCD вписана окружность. Прямая, касающаяся этой окружности в точке P, пересекает стороны AB, BC и продолжение стороны AD соответственно в точках N, Q и M, причём  MN : NP : PQ = 7 : 1 : 2.  Найдите углы ромба.

   Решение

---

На сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M, N, K, L, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что KLMN – параллелограмм, причём его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.

   Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 159]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65865

Темы:   [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Две параболы с различными вершинами являются графиками квадратных трёхчленов со старшими коэффициентами p и q. Известно, что вершина каждой из парабол лежит на другой параболе. Чему может быть равно  p + q?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105110

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Приведите пример многочлена P(x) степени 2001, для которого  P(x) + P(1 – x) ≡ 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108470

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M, N, K, L, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что KLMN – параллелограмм, причём его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116210

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Шестиугольники ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Существует ли шестиугольник, который можно разбить одной прямой на четыре равных треугольника?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116697

Темы:   [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 11

Для заданных значений a, b, c и d оказалось, что графики функций    и    имеют ровно одну общую точку. Докажите, что графики функций    и    также имеют ровно одну общую точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 159]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями