Каталог по темам

Задачи

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 162]

Задача 115779

Темы:	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Протасов В.Ю.

На сторонах угла взяты точки A, B. Через середину M отрезка AB проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны угла в точках A₁, B₁, другая – в точках A₂ , B₂. Прямые A₁B₂ и A₂B₁ пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что M – середина PQ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116160

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Блинков А.Д.

AD и BE — высоты треугольника ABC. Оказалось, что точка C', симметричная вершине C относительно середины отрезка DE, лежит на стороне AB. Докажите, что AB – касательная к окружности, описанной около треугольника DEC'.

Прислать комментарий

Решение

Задача 53477

Темы:	[	Параллелограмм Вариньона	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Композиция центральных симметрий	]
	[	Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

С помощью циркуля и линейки постройте пятиугольник по серединам его сторон.

Прислать комментарий Решение

Задача 64718

Темы:	[	Инварианты	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Бакаев Е.В.

На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: A₁, A₂, ..., A₁₀, причём их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает вдоль окружности через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках A₁, A₂, ..., A₉, а десятый сидит на дуге A₉A₁₀A₁. Можно ли утверждать, что он сидит именно в точке A₁₀?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65248

Темы:	[	Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Дидин М.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота AH. На прямых AB и AC отмечены точки Q и P соответственно так, что QM ⊥ AC и PM ⊥ AB. Описанная окружность треугольника PMQ пересекает прямую BC вторично в точке X. Докажите, что BH = CX.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 162]