Даны два бикфордова шнура, каждый из которых горит ровно минуту, если его поджечь с одного конца (но сгорать может неравномерно).
Как с помощью этих шнуров отмерить 45 секунд? (Поджигать шнур можно с любого из двух концов.)

   Решение

Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета на расстоянии 2004 м.

   Решение

Можно ли в тетрадном листке вырезать такую дырку, через которую пролез бы человек?

   Решение

Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований трапеции, разбивает её на две равновеликие части.

   Решение

В треугольнике ABC сторона AC наименьшая. На сторонах AB и CB взяты точки K и L соответственно, причём  KA = AC = CL.  Пусть M – точка пересечения AL и KC, а I – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Докажите, что прямая MI перпендикулярна прямой AC.

   Решение

На стороне AC остроугольного треугольника ABC выбраны точки M и K так, что ∠ABM = ∠CBK.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников ABM, ABK, CBM и CBK лежат на одной окружности.

   Решение

Дан прямоугольник ABCD и точка P. Прямые, проходящие через A и B и перпендикулярные, соответственно, PC и PD, пересекаются в точке Q.
Докажите, что  PQ ⊥ AB.

   Решение

Найдите геометрическое место точек пересечения высот треугольников, у которых даны середина одной стороны и основания высот, опущенных на две другие.

   Решение

Два противоположных ребра треугольной пирамиды равны a , два других противоположных ребра равны b , два оставшихся ребра равны c . Найдите радиус описанной сферы.

   Решение

Рассматриваются всевозможные квадратные трёхчлены вида  x² + px + q,  где p, q – целые,  1 ≤ p ≤ 1997,  1 ≤ q ≤ 1997.
Каких трёхчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?

   Решение

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF отрезки AB и CF, CD и BE, EF и AD попарно параллельны.
Докажите, что площади треугольников ACE и BFD равны.

   Решение

В треугольнике ABC известно, что  BC = 2AC.  На стороне BC выбрана точка D, для которой  ∠CAD = ∠B. Прямая AD пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке E. Докажите, что  AE = AB.

   Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 604]      

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. На отрезке A₁C₁ выбрали такие точки A₂ и C₂, что отрезок B₁A₂ делится высотой CC₁ пополам и пересекает высоту AA₁ в точке K, а отрезок B₁C₂ делится высотой AA₁ пополам и пересекает высоту CC₁ в точке L. Докажите, что KL || AC.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC известно, что  BC = 2AC.  На стороне BC выбрана точка D, для которой  ∠CAD = ∠B. Прямая AD пересекает биссектрису внешнего угла при вершине C в точке E. Докажите, что  AE = AB.

Прислать комментарий

Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD угол ABD равен 65°, угол CBD равен 35°, угол ADC равен 130°, и  AB = BC.  Найдите углы четырёхугольника ABCD.

Прислать комментарий

Решение

Отрезок, соединяющий вершину A треугольника ABC с центром Q вневписанной окружности, касающейся стороны BC, пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке D. Докажите, что треугольник BDQ – равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

Дан равнобедренный треугольник ABC с вершиной A. Длина прыжка кузнечика равна основанию BC. Известно, что начиная движение из точки C, кузнечик за 22 прыжка оказался в точке A, приземляясь после каждого прыжка на боковой стороне треугольника ABC и чередуя стороны при каждом прыжке, кроме последнего. Найдите углы треугольника ABC, если известно, что с каждым прыжком кузнечик приближался к точке A.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 62 63 64 65 66 67 68 >> [Всего задач: 604]