Каталог по темам

Задачи

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 210]

Задача 109774

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Тригонометрические уравнения	]
	[	Производные высших порядков	]
	[	Методы математического анализа (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Авторы: Агаханов Н.Х., Голованов А.С., Сендеров В.А.

Пусть α , β , γ , τ – такие положительные числа, что при всех x

sinα x+ sinβ x= sinγ x+ sinτ x.
Докажите, что α=γ или α=τ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61250

Темы:	[	Тригонометрия (прочее)	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Пусть

u_k = $\displaystyle {\dfrac{\sin2nx\cdot\sin(2n-1)\cdot x\ldots\cdot\sin(2n-k+1)x}{\sin kx\cdot\sin(k-1)x\cdot\ldots\cdot\sin x}}$ .

Докажите, что числа u_k можно представить в виде многочлена от cos x.

Прислать комментарий

Решение

Задача 76515

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Некоторые из чисел a₁, a₂,...a_n равны +1, остальные равны -1. Доказать, что

2 sin $\displaystyle \left(\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right.$ a₁ + $\displaystyle {\frac{a_1a_2}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{a_1a_2a_3}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right)$ $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ =

= a₁ $\displaystyle \sqrt{2+a_2\sqrt{2+a_3\sqrt{2+\dots +a_n\sqrt{2}}}}$ .

В частности, при a₁ = a₂ = ... = a_n = 1, имеем:

2 sin $\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}}\right.$ 1 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{2^{n-1}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}}\right)$ $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ = 2 cos $\displaystyle {\frac{\pi}{2^{n+1}}}$ =

= $\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 76526

Тема:

[

Тригонометрические неравенства

]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Доказать, что если $\alpha$ и $\beta$ — острые углы и $\alpha$ < $\beta$ , то

$\displaystyle {\frac{{\rm tg}\alpha}{\alpha}}$ < $\displaystyle {\frac{{\rm tg}\beta}{\beta}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 109152

Темы:	[	Тригонометрические уравнения	]
Темы:	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Сколько корней имеет уравнение sin x=x/100 ?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 210]