ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Версия для печати
Убрать все задачи В центре круглого бассейна плавает ученик. Внезапно к бассейну подошёл учитель. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем ученик плавает. Ученик бегает быстрее. Сможет ли он убежать? Саша выложил треугольник со стороной из нескольких спичек, разделённый на маленькие треугольники (см. рис.), а Петя – такой же треугольник, сторона которого на три спички больше. Петя считает, что для этого ему потребовалось на 111 спичек больше чем Саше, а Саша с ним не согласен. Кто из мальчиков прав? Для натурального a обозначим через P(a) наибольший простой делитель числа a² + 1. Стороны параллелограмма равны a и b , а острый угол между диагоналями равен α . Найдите площадь параллелограмма. Сумма номеров домов на одной стороне квартала равна 247. Какой номер имеет седьмой дом от угла? На катетах прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вовне построили квадраты ACKL и BCMN; CE – высота треугольника. Докажите, что угол LEM прямой. На турнир приехали школьники из разных городов. Один из организаторов заметил, что из них можно сделать 19 команд по 6 человек, и при этом еще менее четверти команд будут иметь по запасному игроку. Другой предложил сделать 22 команды по 5 или по 6 человек в каждой, и тогда более трети команд будут состоять из шести игроков. Сколько школьников приехало на турнир? В таблицу 29×29 вписали числа 1, 2, 3, ..., 29, каждое по 29 раз. Оказалось, что сумма чисел над главной диагональю в три раза больше суммы чисел под этой диагональю. Найдите число, вписанное в центральную клетку таблицы. В тетраэдре ABCD из вершины A опустили перпендикуляры AB' , AC' , AD' на плоскости, делящие двугранные углы при ребрах CD , BD , BC пополам. Докажите, что плоскость (B'C'D') параллельна плоскости (BCD) . Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел, а её сумма – степень двойки. В пять горшочков, стоящих в ряд, Кролик налил три килограмма мёда (не обязательно в каждый и не обязательно поровну). Винни-Пух может взять любые два горшочка, стоящие рядом. Какое наибольшее количество мёда сможет гарантированно съесть Винни-Пух? Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1? |
Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 187]
Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1?
Пусть p – простое число и представление числа n
в p-ичной системе имеет вид: n = akpk + ak–1pk–1 + ... + a1p1 + a0.
Дано равенство (am1 – 1)...(amn – 1) = (ak1 + 1)...(akl + 1), где a, n, l и все показатели степени – натуральные числа, причём a > 1.
Для натурального a обозначим через P(a) наибольший простой делитель числа a² + 1.
Натуральное число b назовём удачным, если для любого натурального a, такого, что a5 делится на b², число a² делится на b.
Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 187]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке