Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 12 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В центре круглого бассейна плавает ученик. Внезапно к бассейну подошёл учитель. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем ученик плавает. Ученик бегает быстрее. Сможет ли он убежать?

Вниз   Решение


Саша выложил треугольник со стороной из нескольких спичек, разделённый на маленькие треугольники (см. рис.), а Петя – такой же треугольник, сторона которого на три спички больше. Петя считает, что для этого ему потребовалось на 111 спичек больше чем Саше, а Саша с ним не согласен. Кто из мальчиков прав?

ВверхВниз   Решение


Для натурального a обозначим через P(a) наибольший простой делитель числа  a² + 1.
Докажите, что существует бесконечно много таких троек различных натуральных чисел a, b, c, что  P(a) = P(b) = P(c).

ВверхВниз   Решение


Стороны параллелограмма равны a и b , а острый угол между диагоналями равен α . Найдите площадь параллелограмма.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Сумма номеров домов на одной стороне квартала равна 247. Какой номер имеет седьмой дом от угла?

ВверхВниз   Решение


Автор: Рудаков И.

На катетах прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вовне построили квадраты ACKL и BCMN; CE – высота треугольника. Докажите, что угол LEM прямой.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

На турнир приехали школьники из разных городов. Один из организаторов заметил, что из них можно сделать 19 команд по 6 человек, и при этом еще менее четверти команд будут иметь по запасному игроку. Другой предложил сделать 22 команды по 5 или по 6 человек в каждой, и тогда более трети команд будут состоять из шести игроков. Сколько школьников приехало на турнир?

ВверхВниз   Решение


В таблицу 29×29 вписали числа 1, 2, 3, ..., 29, каждое по 29 раз. Оказалось, что сумма чисел над главной диагональю в три раза больше суммы чисел под этой диагональю. Найдите число, вписанное в центральную клетку таблицы.

ВверхВниз   Решение


В тетраэдре ABCD из вершины A опустили перпендикуляры AB' , AC' , AD' на плоскости, делящие двугранные углы при ребрах CD , BD , BC пополам. Докажите, что плоскость (B'C'D') параллельна плоскости (BCD) .

ВверхВниз   Решение


Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел, а её сумма – степень двойки.
Докажите, что количество членов прогрессии тоже степень двойки.

ВверхВниз   Решение


В пять горшочков, стоящих в ряд, Кролик налил три килограмма мёда (не обязательно в каждый и не обязательно поровну). Винни-Пух может взять любые два горшочка, стоящие рядом. Какое наибольшее количество мёда сможет гарантированно съесть Винни-Пух?

ВверхВниз   Решение


Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1?
Найдите все возможные значения этого произведения.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 187]      



Задача 109485

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Перебор случаев ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1?
Найдите все возможные значения этого произведения.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60556

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Системы счисления (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и представление числа n в p-ичной системе имеет вид:   n = akpk + ak–1pk–1 + ... + a1p1 + a0.
Найдите формулу, выражающую показатель αp, с которым это число p входит в каноническое разложение n!, через n, p, и коэффициенты ak.

Прислать комментарий     Решение

Задача 105168

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Разложение на множители ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Дано равенство  (am1 – 1)...(amn – 1) = (ak1 + 1)...(akl + 1),  где a, n, l и все показатели степени – натуральные числа, причём  a > 1.
Найдите все возможные значения числа a.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116652

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Для натурального a обозначим через P(a) наибольший простой делитель числа  a² + 1.
Докажите, что существует бесконечно много таких троек различных натуральных чисел a, b, c, что  P(a) = P(b) = P(c).

Прислать комментарий     Решение

Задача 115360

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Натуральное число b назовём удачным, если для любого натурального a, такого, что a5 делится на b², число a² делится на b.
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 187]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .