ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

В строку записаны в некотором порядке натуральные числа от 1 до 1993. Над строкой производится следующая операция: если на первом месте стоит число k, то первые k чисел в строке переставляются в обратном порядке. Докажите, что через несколько таких операций на первом месте окажется число 1.

   Решение

Задачи

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 1221]      



Задача 109512

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Перестановки и подстановки (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

В строку записаны в некотором порядке натуральные числа от 1 до 1993. Над строкой производится следующая операция: если на первом месте стоит число k, то первые k чисел в строке переставляются в обратном порядке. Докажите, что через несколько таких операций на первом месте окажется число 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109576

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Средние величины ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

В вершинах выпуклого n-угольника расставлены m фишек  (m > n).  За один ход разрешается передвинуть две фишки, стоящие в одной вершине, в соседние вершины: одну – вправо, вторую – влево. Докажите, что если после нескольких ходов в каждой вершине n-угольника будет стоять столько же фишек, сколько и вначале, то количество сделанных ходов кратно n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109658

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

В классе 33 человека. У каждого ученика спросили, сколько у него в классе тезок и сколько однофамильцев (включая родственников). Оказалось, что среди названных чисел встретились все целые от 0 до 10 включительно. Докажите, что в классе есть два ученика с одинаковыми именем и фамилией.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109673

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

На множестве действительных чисел задана операция * , которая каждым двум числам a и b ставит в соответствие число a*b . Известно, что равенство (a*b)*c=a+b+c выполняется для любых трех чисел a , b и c . Докажите, что a*b=a+b .
Прислать комментарий     Решение


Задача 109745

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечётного числа, во вторую – числа, для которых ближайшими являются квадраты чётных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 1221]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .