Версия для печати
Убрать все задачи

---

Последовательность натуральных чисел a_i такова, что  НОД(a_i, a_j) = НОД(i, j)  для всех  i ≠ j.  Докажите, что  a_i = i  для всех  i ∈ N.

   Решение

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 275]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60522

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Инварианты и полуинварианты (прочее) ] [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На доске написано n натуральных чисел. За одну операцию вместо двух чисел, не делящих друг друга, можно написать их наибольший общий делитель и их наименьшее общее кратное.
  а) Докажите, что можно провести только конечное число операций.
  б) Финальный результат независимо от порядка действий будет одним и тем же. Например:
    (4, 6, 9) → (2, 12, 9) → (2, 3, 36) → (1, 6, 36),
    (4, 6, 9) → (4, 3, 18) → (1, 12, 18) → (1, 6, 36).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64346

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

На доске написали 100 попарно различных натуральных чисел a₁, a₂, ..., a₁₀₀. Затем под каждым числом a_i написали число b_i, полученное прибавлением к a_i наибольшего общего делителя остальных 99 исходных чисел. Какое наименьшее количество попарно различных чисел может быть среди b₁, b₂, ..., b₁₀₀?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77934

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Имеется несколько чисел, каждое из которых меньше чем 1951. Общее наименьшее кратное любых двух из них больше чем 1951.
Доказать, что сумма обратных величин этих чисел меньше 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79261

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Последовательности (прочее) ] [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Индукция (прочее) ] [ Алгоритм Евклида ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В концах отрезка пишутся две единицы. Посередине между ними пишется их сумма – число 2. Затем посередине между каждыми двумя соседними из написанных чисел снова пишется их сумма и так далее 1973 раза. Сколько раз будет написано число 1973?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 86110

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 4 Классы: 9

На окружности расставлено n цифр, отличных от 0. Сеня и Женя переписали себе в тетрадки  n – 1  цифру, читая их по часовой стрелке. Оказалось, что хотя они начали с разных мест, записанные ими (n–1)-значные числа совпали. Докажите, что окружность можно разрезать на несколько дуг так, чтобы записанные на дугах цифры образовывали одинаковые числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 18 19 20 21 22 23 24 >> [Всего задач: 275]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями