Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 146]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Докажите, что для любых натуральных a1, a2, ..., ak
таких, что 
, у уравнения
не больше чем a1a2...ak решений в натуральных числах. ([x] – целая часть числа x, т. е. наибольшее целое число,
не превосходящее x.)
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Докажите для любых натуральных чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ неравенство $\bigg\lfloor\frac{a_1^2}{a_2}\bigg\rfloor + \bigg\lfloor\frac{a_2^2}{a_3}\bigg\rfloor + ... + \bigg\lfloor\frac{a_n^2}{a_1}\bigg\rfloor \geqslant a_1 + a_2 + ... +a_n$. ([$x$] – целая часть числа $x$.)
Числа [
a], [2
a], ..., [
Na] различны между собой, и числа
![$ \left.\vphantom{\frac{1}{a}}\right]$](show_document.php?id=1055695)
,
![$ \left.\vphantom{\frac{2}{a}}\right]$](show_document.php?id=1055698)
, ...,
![$ \left.\vphantom{\frac{M}{a}}\right]$](show_document.php?id=1055701)
тоже различны между собой. Найти все такие
a.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Докажите для каждого натурального числа n > 1 равенство: [n1/2] + [n1/3] + ... + [n1/n] = [log2n] + [log3n] + ... + [lognn].
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Во всех рациональных точках действительной прямой расставлены целые числа.
Докажите, что найдётся такой отрезок, что сумма чисел на его концах не
превосходит удвоенного числа в его середине.
Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 146]
Фильтр
Решение 
