Версия для печати
Убрать все задачи

---

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую – в точке D. Пусть M и N – середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K – середина отрезка CD. Докажите, что угол MKN прямой. (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.)

   Решение

---

На сторонах AP и PD остроугольного треугольника APD выбраны соответственно точки B и C. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Q. Точки H₁ и H₂ являются ортоцентрами треугольников APD и BPC соответственно. Докажите, что если прямая H₁H₂ проходит через точку X пересечения описанных окружностей треугольников ABQ и CDQ, то она проходит и через точку Y пересечения описанных окружностей треугольников BQC и AQD.
(X ≠ Q,  Y ≠ Q.)

   Решение

---

Дано дерево с n вершинами,  n ≥ 2.  В его вершинах расставлены числа x₁, x₂, x_n, а на каждом ребре записано произведение чисел, стоящих в концах этого ребра. Обозначим через S сумму чисел на всех рёбрах. Докажите, что  

   Решение

Страница: << 258 259 260 261 262 263 264 >> [Всего задач: 1376]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110769

Темы:   [ Индукция в геометрии ] [ Наглядная геометрия в пространстве ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Куб ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Куб с ребром 2n+1 разрезают на кубики с ребром 1 и бруски размера 2x 2x 1 . Какое наименьшее количество единичных кубиков может при этом получиться?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105068

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Индукция в геометрии ] [ Целочисленные решетки (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

На лугу, имеющем форму квадрата, имеется круглая лунка. По лугу прыгает кузнечик. Перед каждым прыжком он выбирает вершину и прыгает по направлению к ней. Длина прыжка равна половине расстояния до этой вершины.
Сможет ли кузнечик попасть в лунку?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105173

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Теорема Хелли ]

Сложность: 5- Классы: 7,8,9

а) Из картона вырезали 7 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 6 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 7 нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)

б) Из картона вырезали 8 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 7 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 8 — нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64981

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Выпуклый n-угольник P, где  n > 3,  разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.
Каковы возможные значения n, если n-угольник описанный?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78796

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Простые числа и их свойства ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Можно ли каждую сторону квадрата так разделить на 100 частей, чтобы из полученных 400 отрезков нельзя было бы составить контура никакого прямоугольника, отличного от исходного квадрата?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 258 259 260 261 262 263 264 >> [Всего задач: 1376]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями