Версия для печати
Убрать все задачи

---

Последовательность нулей и единиц строится следующим образом: на k-м месте ставится ноль, если сумма цифр числа k чётна, и единица, если сумма цифр числа k нечётна. Докажите, что эта последовательность непериодична.

   Решение

---

На доске написано число 12. В течение каждой минуты число либо умножают, либо делят либо на 2, либо на 3, и результат записывают на доску вместо исходного числа. Докажите, что число, которое будет написано на доске ровно через час, не будет равно 54.

   Решение

---

В пространстве имеется 43 точки: 3 желтых и 40 красных. Никакие четыре из них не лежат в одной плоскости. Может ли количество треугольников с красными вершинами, зацепленных с треугольником с желтыми вершинами, быть равно $2023$?

Жёлтый треугольник зацеплен с красным, если контур красного пересекает часть плоскости, ограниченную жёлтым, ровно в одной точке. Треугольники, отличающиеся перестановкой вершин, считаются одинаковыми.

   Решение

---

Известно, что многочлен  (x + 1)ⁿ – 1  делится на некоторый многочлен  P(x) = x^k + c_k–1x^k–1 + c_k–2x^k–2 + ... + c₁x + c₀  чётной степени k, у которого все коэффициенты – целые нечётные числа. Докажите, что n делится на  k + 1.

   Решение

Страница: << 109 110 111 112 113 114 115 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109844

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Четность и нечетность ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Известно, что многочлен  (x + 1)ⁿ – 1  делится на некоторый многочлен  P(x) = x^k + c_k–1x^k–1 + c_k–2x^k–2 + ... + c₁x + c₀  чётной степени k, у которого все коэффициенты – целые нечётные числа. Докажите, что n делится на  k + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109902

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

На столе лежат n спичек  (n > 1).  Двое игроков по очереди снимают их со стола. Первым ходом игрок снимает со стола любое число спичек от 1 до  n – 1,  а дальше каждый раз можно брать со стола не больше спичек, чем взял предыдущим ходом партнер. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку. Найдите все n, при которых первый игрок может обеспечить себе выигрыш.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109916

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Куб ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Дан куб со стороной 4. Можно ли целиком оклеить три его грани, имеющие общую вершину, 16 бумажными прямоугольными полосками размером 1×3?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109917

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

Дан набор, состоящий из таких 100 различных чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор.
Докажите, что произведение чисел в наборе положительно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109925

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Дан набор, состоящий из таких 1997 чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных, то получится тот же набор.
Докажите, что произведение чисел в наборе равно 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 109 110 111 112 113 114 115 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями