- Биссекторная плоскость и ГМТ (6 задач)
- Cерединный перпендикуляр и ГМТ (9 задач)
- Скрещивающиеся прямые и ГМТ (10 задач)
- Построения в пространстве и ГМТ (4 задачи)
- ГМТ в пространстве (прочее) (13 задач)
- Метод ГМТ в пространстве (4 задачи)
Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
Докажите, что если числа x, y, z при некоторых значениях p и q являются решениями системы
y = xn + px + q, z = yn + py + q, x = zn + pz + q,
то выполнено неравенство x²y + y²z + z²x ≥ x²z + y²x + z²y.
Рассмотрите случаи а) n = 2; б) n = 2010.
Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.
Точки А1 и А3 расположены по одну сторону от плоскости α, а точки А2 и А4 – по другую сторону. Пусть В1, В2, В3 и В4 – точки пересечения отрезков А1А2, А2А3, А3А4 и А4А1
с плоскостью α соответственно. Найдите
Окружность S и точка O лежат в одной плоскости, причём O находится вне окружности. Построим произвольный шар, проходящий через окружность S, и опишем конус с вершиной в точке O и касающийся шара. Найти геометрическое место центров окружностей, по которым конусы касаются шаров.
Существует ли такое положительное число α, что при всех действительных x верно неравенство |cos x| + |cos αx| > sin x + sin αx?
Решите неравенство:
(Сообщил А. Л.Брудно) Прямоугольное поле m×n разбито на mn квадратных клеток. Некоторые клетки покрашены в чёрный цвет. Известно, что все чёрные клетки могут быть разбиты на несколько непересекающихся и не имеющих общих вершин чёрных прямоугольников. Считая, что цвета клеток даны в виде массива типа
На плоскости даны точки A и B . Доказать, что множество всех точек M , удалённых от A в 3 раза больше, чем от B , есть окружность.
В усеченную треугольную пирамиду вписана сфера, касающаяся оснований в точках $T_1$, $T_2$. Пусть $h$ – высота пирамиды, $R_1$, $R_2$ – радиусы окружностей, описанных около ее оснований, $O_1$, $O_2$ – центры этих окружностей. Докажите, что $$ R_1R_2h^2=(R_1^2-O_1T_1^2)(R_2^2-O_2T_2^2). $$
Даны две квадратных таблицы чисел. Требуется построить третью, каждый элемент которой равен сумме элементов, стоящих на том же месте в 1-й и 2-й таблицах. Входные данные Во входном файле записано сначала число N, затем записана первая таблица, а после нее - вторая. Элементы таблиц - числа от 0 до 100. 1<=N<=100. Выходные данные В выходной файл выведите результирующую таблицу. Пример входного файла 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Пример выходного файла 12 14 16 18 20 22 24 26 28
Прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой положили боком на плоскость и покатили так, что его вершина осталась неподвижна. Сколько оборотов сделает его основание до момента, когда конус вернется в исходное положение?
Все рёбра правильной шестиугольной призмы
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 равны 4. На ребре EE1
взята точка K так, что E1K= , а на ребре FF1
– точка L так, что F1L=
. Найдите наименьшее
возможное значение суммы AP+PQ , где точка P принадлежит отрезку
B1F1 , а точка Q – отрезку KL .
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]
Задача 109096 |
|
|
Докажите, что геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек пространства, есть плоскость, перпендикулярная отрезку с концами в этих точках и проходящая через середину этого отрезка.
|
|
Решение |
Задача 65931 |
|
|
Дан треугольник ABC, все углы которого меньше φ, где φ < 2π/3.
Докажите, что в пространстве существует точка, из которой все стороны треугольника ABC видны под углом φ.
|
|
|
Решение |
Задача 110953 |
|
|
Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1
равна 4, а боковое ребро равно 3. На ребре BB1 взята точка F , а на
ребре CC1 – точка G так, что B1F=1 , CG= . Точки
E и D – середины рёбер AC и B1C1 соответственно. Найдите
наименьшее возможное значение суммы EP+PQ , где точка P принадлежит
отрезку A1D , а точка Q – отрезку FG .
|
|
|
Решение |
Задача 110954 |
|
|
На ребре BB1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка F так,
что B1F = BB1 , на ребре C1D1 – точка E так,
что D1E =
C1D1 . Какое наибольшее значение может
принимать отношение
, где точка P лежит на луче DE , а
точка Q – на прямой A1F ?
|
|
|
Решение |
Задача 110955 |
|
|
Все рёбра правильной шестиугольной призмы
ABCDEFA1B1C1D1E1F1 равны 4. На ребре EE1
взята точка K так, что E1K= , а на ребре FF1
– точка L так, что F1L=
. Найдите наименьшее
возможное значение суммы AP+PQ , где точка P принадлежит отрезку
B1F1 , а точка Q – отрезку KL .
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]
