Каталог по темам

Выбрано 13 задач

Докажите, что если многочлен f(x) степени n принимает целые значения в точках x = 0, 1, ..., n, то он принимает целые значения во всех целых точках.

Решение

Найдите расстояние от точки D(1;3;2) до плоскости, проходящей через точки A(-3;0;1), B(2;1;-1) и C(-2;2;0) .

Решение

На ребре BB1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка F так, что B1F = BB1 , на ребре C1D1 – точка E так, что D1E = C1D1 . Какое наибольшее значение может принимать отношение , где точка P лежит на луче DE , а точка Q – на прямой A1F ?

Решение

Вводится сначала число N, а затем N чисел. Выведите эти N чисел
в следующем порядке: сначала выводятся все нечетные числа в том порядке,
в каком они встречались во входном файле, а затем - все четные.

Входные данные
Вводится число N (0<N<100), а затем N чисел из диапазона Integer.

Пример входного файла
7
2 4 1 3 5 3 1

Пример выходного файла
1 3 5 3 1 2 4

Решение

Сфера радиуса 4 с центром в точке Q касается трёх параллельных прямых в точках F , G и H . Известно, что площадь треугольника QGH равна 4 , а площадь треугольника FGH больше 16. Найдите угол GFH .

Решение

Докажите, что если вершины шестиугольника ABCDEF лежат на одной конике, то точки пересечения продолжений его противоположных сторон (т. е. прямых AB и DE, BC и EF, CD и AF) лежат на одной прямой (Паскаль).

Решение

Докажите, что

| x| + | y| + | z| $\displaystyle \le$ | x + y - z| + | x - y + z| + |-x + y + z|,

где x, y, z — действительные числа.

Решение

Известно, что некоторый многочлен в рациональных точках принимает рациональные значения.
Докажите, что все его коэффициенты рациональны.

Решение

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a . Боковая грань образует с плоскостью основания угол 45^o . Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.

Решение

Даны точки A(1;0;1) , B(-2;2;1) , C(2;0;3) и D(0;4;-2) . Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC .

Решение

Вводится сначала число N, а затем N чисел. Выведите эти N чисел
в обратном порядке.

Входные данные
Вводится число N (0<N<100), а затем N чисел из диапазона Integer.

Выходные данные
Выведите N чисел в обратном порядке

Пример входного файла
7
2 4 1 3 5 3 1

Пример выходного файла
1 3 5 3 1 4 2

Решение

Постройте многочлены f(x) степени не выше 2, которые удовлетворяют условиям:
а) f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 3;
б) f(–1) = –1, f(0) = 2, f(1) = 5;
в) f(–1) = 1, f(0) = 0, f(2) = 4.

Решение

Диагонали трапеции равны 13 и 3, а сумма оснований равна 14. Найдите высоту трапеции.

Решение

Задача 54168

Задача 53634

Задача 54880

Задача 111053

Задача 111054