Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 12 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Трушин Б.

Сколько раз функция   f(x) = cos x cos x/2 cos x/3 ... cos x/2009   меняет знак на отрезке  [0, 2009π/2] ?

Вниз   Решение


Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с его рёбрами углы α , β и γ . Докажите, что cos2α + cos2β + cos2γ = 1 .

ВверхВниз   Решение


Автор: Бахарев Ф.

Окружность с центром I , вписанная в грань ABC треугольной пирамиды SABC , касается отрезков AB , BC , CA в точках D , E , F соответственно. На отрезках SA , SB , SC отмечены соответственно точки A' , B' , C' так, что AA'=AD , BB'=BE , CC'=CF ; S' – точка на описанной сфере пирамиды, диаметрально противоположная точке S . Известно, что SI является высотой пирамиды. Докажите, что точка S' равноудалена от точек A' , B' , C' .

ВверхВниз   Решение


Составьте уравнение окружности, проходящей через точки A(- 2;1), B(9;3) и C(1;7).

ВверхВниз   Решение


Даны точки A(0;0), B(4;0) и C(0;6). Составьте уравнение окружности, описанной около треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение


Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

ВверхВниз   Решение


Все попарные расстояния между четырьмя точками в пространстве равны 1. Найдите расстояние от одной из этих точек до плоскости, определяемой тремя другими.

ВверхВниз   Решение


Автор: Храбров А.

Докажите неравенство   sinn2x + (sinnx – cosnx)² ≤ 1.

ВверхВниз   Решение


B остроугольном треугольнике ровно один из углов равен 60°. Докажите, что прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения медиан треугольника, отсекает от него равносторонний треугольник.

ВверхВниз   Решение


В пятиугольнике A1A2A3A4A5 проведены биссектрисы l1, l2, ..., l5 углов A1, A2, ..., A5 соответственно. Биссектрисы l1 и l2 пересекаются в точке B1, l2 и l3 – в точке B2 и т.д., ..., l5 и l1 пересекаются в точке B5. Может ли пятиугольник B1B2B3B4B5 оказаться выпуклым?

ВверхВниз   Решение


В стране две столицы и несколько городов, некоторые из них соединены дорогами. Среди дорог есть платные. Известно, что на любом пути из южной столицы в северную имеется не меньше 10 платных дорог. Докажите, что все платные дороги можно раздать 10 компаниям так, чтобы на любом пути из южной столицы в северную имелись дороги каждой из компаний.

ВверхВниз   Решение


Найдите расстояние между серединами непараллельных сторон разных оснований правильной треугольной призмы, все рёбра которой равны 2.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      



Задача 111124

Темы:   [ Правильная призма ]
[ Теорема Пифагора в пространстве ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Найдите расстояние между серединами непараллельных сторон разных оснований правильной треугольной призмы, все рёбра которой равны 2.
Прислать комментарий     Решение


Задача 111128

Темы:   [ Прямоугольные параллелепипеды ]
[ Теорема Пифагора в пространстве ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Диагонали трёх различных граней прямоугольного параллелепипеда равны m , n и p . Найдите диагональ параллелепипеда.
Прислать комментарий     Решение


Задача 111129

Темы:   [ Прямоугольные параллелепипеды ]
[ Теорема Пифагора в пространстве ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с его рёбрами углы α , β и γ . Докажите, что cos2α + cos2β + cos2γ = 1 .
Прислать комментарий     Решение


Задача 66011

Темы:   [ Конус (прочее) ]
[ Теорема Пифагора в пространстве ]
[ Вычисление длин дуг ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой     положили боком на плоскость и покатили так, что его вершина осталась неподвижна. Сколько оборотов сделает его основание до момента, когда конус вернется в исходное положение?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65686

Темы:   [ Куб ]
[ Теорема Пифагора в пространстве ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Разные задачи на разрезания ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Можно ли четырьмя плоскостями разрезать куб с ребром 1 на части так, чтобы для каждой из частей расстояние между любыми двумя её точками было:
  а) меньше 4/5;
  б) меньше 4/7?
Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .