Углы треугольника равны α, β и γ, а периметр равен P. Найдите стороны треугольника.

   Решение

На доске написаны три натуральных числа. Петя записывает на бумажке произведение каких-нибудь двух из этих чисел, а на доске уменьшает третье число на 1. С новыми тремя числами на доске он снова проделывает ту же операцию, и так далее, до тех пор пока одно из чисел на доске не станет нулём. Чему будет в этот момент равна сумма чисел на Петиной бумажке?

   Решение

Вычислите функции g_k,l(x) при  0 ≤ k + l ≤ 4  и покажите, что все они являются многочленами.
Определение многочленов Гаусса g_k,l(x) можно найти в справочнике.

   Решение

Существует ли трехзначное число, равное произведению своих цифр?

   Решение

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания a и боковым ребром b .

   Решение

Высота AK, биссектриса BL и медиана CM треугольника АВС пересекаются в точке О, причём  АО = ВО.
Докажите, что треугольник АВС – равносторонний.

   Решение

Основания трапеции равны 1,8 и 1,2; боковые стороны, равные 1,5 и 1,2, продолжены до взаимного пересечения.
Найдите, насколько продолжены боковые стороны.

   Решение

Дан отрезок $AB$. Точки $X, Y, Z$ в пространстве выбираются так, чтобы $ABX$ был правильным треугольником, а $ABYZ$ – квадратом.
Докажите, что ортоцентры всех получающихся таким образом треугольников $XYZ$ попадают на некоторую фиксированную окружность.

   Решение

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Известно, что  AB·CF = 2BC·FA,  CD·EB = 2DE·BC,  EF·AD = 2FA·DE.
Докажите, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

   Решение

Точки E, F – середины сторон BC, CD квадрата ABCD. Прямые AE и BF пересекаются в точке P. Докажите, что  ∠PDA = ∠AED.

   Решение

Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с углом α при вершине. Все двугранные углы при основании пирамиды равны β . Найдите объём пирамиды, если радиус окружности, описанной около треугольника основания, равен R , а высота пирамиды проходит через точку, лежащую внутри треугольника.

   Решение

Пусть BH_b, CH_c – высоты треугольника ABC. Прямая H_bH_c пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC в точках X и Y. Точки P и Q симметричны X и Y относительно AB и AC соответственно. Докажите, что  PQ || BC.

   Решение

Через центр квадрата проведены две перпендикулярные прямые. Докажите, что их точки пересечения со сторонами квадрата образуют квадрат.

   Решение

Шагреневая кожа исполняет желания, но после каждого желания её площадь уменьшается: либо на 1 дм² в обычном случае, либо в два раза – если желание было заветное. Десять желаний уменьшили площадь кожи втрое, следующие несколько – еще всемеро, а еще через несколько желаний кожа вообще пропала. Какова первоначальная площадь кожи?

   Решение

Из точки D окружности S опущен перпендикуляр DC на диаметр AB . Окружность S1 касается отрезка CA в точке E , а также отрезка CD и окружности S . Докажите, что DE — биссектриса треугольника ADC .

   Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]      

Две окружности, вписанные в сегмент AB данной окружности, пересекаются в точках M и N. Докажите, что прямая MN проходит через середину C дополнительной дуги данного сегмента AB.

Прислать комментарий

Решение

Хорда AB разбивает окружность S на две дуги. Окружность S1 касается хорды AB в точке M и одной из дуг в точке N . Докажите, что а) прямая MN проходит через середину P второй дуги; б) длина касательной PQ к окружности S1 равна PA .

Прислать комментарий

Решение

Из точки D окружности S опущен перпендикуляр DC на диаметр AB . Окружность S1 касается отрезка CA в точке E , а также отрезка CD и окружности S . Докажите, что DE — биссектриса треугольника ADC .

Прислать комментарий

Решение

В сегмент, ограниченный хордой и дугой AB окружности, вписана окружность ω с центром I. Обозначим середину указанной дуги AB через M, а середину дополнительной дуги через N. Из точки N проведены две прямые, касающиеся ω в точках C и D. Противоположные стороны AD и BC четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Y, а его диагонали пересекаются в точке X. Докажите, что точки X, Y, I и M лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

К описанной окружности треугольника $ABC$ проведены касательные в точках $B$ и $C$. Лучи $CC_1$, $BB_1$, где $B_1$ и $C_1$ – середины сторон $AC$ и $AB$, пересекают эти касательные в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $\angle BAK=\angle CAL$.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 11]