ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Окружности >> Пересекающиеся окружности
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

``1 = - 1''. Изучив комплексные числа, Коля Васин решил вывести формулу, которая носила бы его имя. После нескольких попыток ему это удалось:

$\displaystyle \sqrt{\frac{1}{-1}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{-1}{1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle {\frac{\sqrt1}{\sqrt{-1}}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt1}}$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \sqrt{1}$$\displaystyle \sqrt{1}$ = $\displaystyle \sqrt{-1}$$\displaystyle \sqrt{-1}$ $\displaystyle \Rightarrow$ 1 = - 1.

После некоторых размышлений, Коля придумал более короткое доказательство своего тождества:

-1 = i2 = $\displaystyle \sqrt{-1}$ . $\displaystyle \sqrt{-1}$ = $\displaystyle \sqrt{(-1)(-1)}$ = $\displaystyle \sqrt{1}$ = 1.

Не ошибся ли где-нибудь Коля Васин?

Вниз   Решение

Даны четыре точки A , B , C , D . Известно, что любые две окружности, одна из которых проходит через A и B , а другая — через C и D , пересекаются. Докажите, что общие хорды всех таких пар окружностей проходят через одну точку.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 149]      

  с решениями  

Задача 55528

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ]
[ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

На плоскости даны три окружности одинакового радиуса. Докажите, что если они расположены так, как показано на рис.1, то сумма отмеченных дуг AB, CD и EF равна 180o.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111716

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ]
[ Радикальная ось ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Даны четыре точки A , B , C , D . Известно, что любые две окружности, одна из которых проходит через A и B , а другая — через C и D , пересекаются. Докажите, что общие хорды всех таких пар окружностей проходят через одну точку.
Прислать комментарий     Решение

Задача 64921

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Формула Эйлера ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках X, Y, расстояние между которыми тоже равно 1. Из точки C одной окружности проведены к другой касательные CA, CB, вторично пересекающие первую окружность в точках B', A'. Прямые AA' и BB' пересекаются в точке Z. Найдите угол XZY.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108245

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Авторы: Сонкин М., Терешин Д.А.

Окружности S1 и S2 пересекаются в точках M и N. Через точку A окружности S1 проведены прямые AM и AN, пересекающие окружность S2 в точках B и C, а через точку D окружности S2 – прямые DM и DN, пересекающие S1 в точках E и F, причём точки A, E, F лежат по одну сторону от прямой MN, а D, B, C – по другую (см. рис.). Докажите, что если  AB = DE,  то точки A, F, C и D лежат на одной окружности, положение центра которой не зависит от выбора точек A и D.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110796

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 5
Классы: 10,11

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Хорды MN первой окружности и KL второй окружности имеют общую точку O. Длина отрезка PQ в пять раза больше длины отрезка OL. Длина отрезка OK в два раза больше длины отрезка MO, которая, в свою очередь, в два раза больше длины отрезка OL. Какие значения может принимать длина отрезка PO, если известно, что QO = 4, а длины отрезков MO и ON равны?
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 149]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам