Версия для печати
Убрать все задачи

---

Один из углов треугольника равен α. Найдите угол между прямыми, содержащими высоты, проведённые из вершин двух других углов.

   Решение

---

Основание правильной четырёхугольной пирамиды – квадрат со стороной 8. Высота пирамиды равна 9. Через сторону основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол, равный arctg . Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

   Решение

---

Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна a , а противоположные боковые грани пирамиды взаимно перпендикулярны. Найдите радиусы описанной и вписанной сфер.

   Решение

---

На прямой выбрано 100 множеств A₁, A₂, .. , A100 , каждое из которых является объединением 100 попарно непересекающихся отрезков. Докажите, что пересечение множеств A₁, A₂, .. , A100 является объединением не более 9901 попарно непересекающихся отрезков (точка также считается отрезком).

   Решение

---

В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. Известно, что  BL = AB.  На продолжении BL за точку L выбрана точка K, причём  ∠BAK + ∠BAL = 180°.  Докажите, что  BK = BC.

   Решение

---

В правильной треугольной пирамиде ABCD сторона основания ABC равна 4, угол между плоскостью основания ABC и боковой гранью равен . Точки K, M, N – середины отрезков AB, DK, AC соответственно, точка E лежит на отрезке CM и 5ME = CE. Через точку E проходит плоскость П перпендикулярно отрезку CM. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки N до плоскости П.

   Решение

---

На доске записано произведение a₁a₂... a₁₀₀, где a₁, ..., a₁₀₀ – натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений чётные. Какое наибольшее количество чётных чисел среди a₁, a₂, ..., a₁₀₀ могло быть?

   Решение

---

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро которого равно 6, точки M и N – середины рёбер AB и B₁C₁ соответственно, а точка K расположена на ребре DC так, что
DK = 2KC.  Найдите
  а) расстояние от точки N до прямой AK;
  б) расстояние между прямыми MN и AK;
  в) расстояние от точки A₁ до плоскости треугольника MNK.

   Решение

---

В треугольнике ABC провели биссектрисы углов A и C. Точки P и Q – основания перпендикуляров, опущенных из вершины B на эти биссектрисы. Докажите, что отрезок PQ параллелен стороне AC.

   Решение

---

Маша задумала натуральное число и нашла его остатки при делении на 3, 6 и 9. Сумма этих остатков оказалась равна 15.
Найдите остаток от деления задуманного числа на 18.

   Решение

---

Рациональные числа x, y и z таковы, что все числа  x + y² + z²,  x² + y + z²  и  x² + y² + z  целые. Докажите, что число 2x целое.

   Решение

---

В пирамиде ABCD длина каждого из рёбер AB и CD равна 4, длина каждого из остальных рёбер равна 3. В эту пирамиду вписана сфера. Найдите объём пирамиды, вершинами которой являются точки касания сферы с гранями пирамиды ABCD .

   Решение

---

Пусть вневписанные окружности треугольника, касающиеся сторон AC и BC , касаются прямой AB в точках P и Q соответственно. Докажите, что середина стороны AB совпадает с серединой отрезка PQ .

   Решение

---

a и b – натуральные числа. Покажите, что если  4ab – 1  делит  (4a² – 1)²,  то  a = b.

   Решение

---

Докажите, что для треугольника со сторонами a , b , c и площадью S выполнено неравенство

a²+b²+c²- (|a-b|+|b-c|+|c-a|)² 4 S.

   Решение

Страница: << 80 81 82 83 84 85 86 >> [Всего задач: 489]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109738

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Объединение, пересечение и разность множеств ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

На прямой выбрано 100 множеств A₁, A₂, .. , A100 , каждое из которых является объединением 100 попарно непересекающихся отрезков. Докажите, что пересечение множеств A₁, A₂, .. , A100 является объединением не более 9901 попарно непересекающихся отрезков (точка также считается отрезком).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109920

Темы:   [ Монотонность и ограниченность ] [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Иррациональные уравнения ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Докажите, что если

++=++= = ++
для некоторых a , b , c , x , y , z , то x=y=z или a=b=c .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109654

Темы:   [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол 90^o . Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным , один из которых содержит M , а другой содержится в M .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111723

Темы:   [ Неравенства с площадями ] [ Формула Герона ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 5- Классы: 9,10

Докажите, что для треугольника со сторонами a , b , c и площадью S выполнено неравенство

a²+b²+c²- (|a-b|+|b-c|+|c-a|)² 4 S.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58268

Темы:   [ Покрытия ] [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Отрезок длиной 1 покрыт несколькими лежащими на нем отрезками. Докажите, что среди них можно выбрать несколько попарно непересекающихся отрезков, сумма длин которых не меньше 0,5.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 80 81 82 83 84 85 86 >> [Всего задач: 489]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями