Страница: << 92 93 94 95 96 97 98 >> [Всего задач: 490]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
По окружности расставлено 100 натуральных чисел, взаимно простых в совокупности. Разрешается прибавлять к любому числу наибольший общий делитель его соседей. Докажите, что при помощи таких операций можно сделать все числа попарно взаимно простыми.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Диагональ правильного 2006-угольника P называется хорошей, если её концы делят границу P на две части, каждая из которых содержит нечётное число сторон. Стороны P также называются хорошими. Пусть P разбивается на треугольники 2003 диагоналями, никакие две из которых не имеют общих точек внутри P. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников, каждый из которых имеет две хорошие стороны, может иметь такое разбиение?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В стране есть N городов. Некоторые пары из них соединены беспосадочными двусторонними авиалиниями. Оказалось, что для любого k (2 ≤ k ≤ N) при любом выборе k городов количество авиалиний между этими городами не будет превосходить 2k – 2. Докажите, что все авиалинии можно распределить между двумя авиакомпаниями так, что
не будет замкнутого авиамаршрута, в котором все авиалинии принадлежат одной компании.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
|
Треугольник T содержится внутри выпуклого центрально-симметричного
многоугольника M .
Треугольник T' получается из треугольника T
центральной симметрией относительно некоторой точки P , лежащей внутри треугольника T .
Докажите, что хотя бы одна из вершин треугольника T' лежит
внутри или на границе многоугольника M .
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
|
В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?
Страница: << 92 93 94 95 96 97 98 >> [Всего задач: 490]
Фильтр
