Страница:
<< 10 11 12 13 14 15
16 >> [Всего задач: 78]
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10
|
a,
b,
c и
d — длины последовательных сторон четырёхугольника.
Обозначим через
S его площадь. Доказать, что
S(
a +
b)(
c +
d ).
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11
|
На плоскости отмечено несколько точек, каждая покрашена в синий,
желтый или зеленый цвет. На любом отрезке, соединяющем одноцветные точки,
нет точек этого же цвета, но есть хотя бы одна другого цвета.
Каково максимально возможное число всех точек?
|
|
Сложность: 4- Классы: 8,9,10
|
Брат и сестра делят треугольный торт так: он указывает точку на торте, а она проводит через эту точку прямолинейный разрез и выбирает себе кусок. Каждый хочет получить кусок как можно больше. Где брат должен поставить точку? Какую часть торта получит в этом случае каждый из них?
|
|
Сложность: 4+ Классы: 8,9,10
|
Внутри выпуклого многоугольника
M помещена окружность максимально возможного
радиуса
R (это значит, что внутри
M нельзя поместить окружность большего
радиуса). Известно, что внутри можно провернуть отрезок длины 1 на любой угол
(т.е. мы можем двигать единичный отрезок как твердый стержень по плоскости так,
чтобы он не вылезал за пределы многоугольника
M и при этом повернулся на
любой заданный угол). Докажите, что
R1/3.
|
|
Сложность: 5+ Классы: 8,9,10
|
Пусть
a,
b,
c,
d — длины четырёх последовательных сторон четырёхугольника,
S — его площадь. Докажите неравенства:
а) S ≤ ab + cd;
б) S ≤ ac + bd.
в) Докажите, что если хотя бы в одном из этих неравенств достигается равенство, то четырёхугольник можно вписать в окружность.
Страница:
<< 10 11 12 13 14 15
16 >> [Всего задач: 78]