Через вершину A правильного треугольника ABC под углом α ( 0<α< ) к AC проведена прямая, пересекающая BC в точке D . Найдите отношение площади треугольника ADC к площади треугольника ABC .

   Решение

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Их общая касательная касается первой окружности в точке B, а второй в точке C. Прямая, проходящая через точки A и B, пересекает вторую окружность в точке D. Известно, что BC = 10 см, AB = 8 см. Найдите площадь треугольника BCD.

   Решение

В пространстве даны две пересекающиеся сферы разных радиусов и точка A, принадлежащая обеим сферам. Докажите, что в пространстве существует точка B, обладающая следующим свойством: если через точки A и B провести произвольную окружность, то точки ее повторного пересечения с данными сферами будут равноудалены от B.

   Решение

Внутри выпуклого четырехугольника ABCD площади S взята точка O, причем  AO² + BO² + CO² + DO² = 2S. Докажите, что тогда ABCD — квадрат и O — его центр.

   Решение

В треугольнике ABC угол A равен α,  AB = AC = b.  Через вершину B и центр описанной окружности проведена прямая до пересечения с прямой AC в точке D. Найдите BD.

   Решение

В пирамиде ABCD точки M, F и K – середины рёбер BC, AD и CD соответственно. На прямых AM и CF взяты соответственно точки P и Q, причём
PQ || BK.  Найдите отношение  PQ : BK.

   Решение

Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA. Докажите, что точка пересечения отрезков KM и LN является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.

   Решение

Бизнесмен Борис Михайлович решил устроить с трактористом Васей гонки по шоссе. Поскольку его "Лексус" едет вдесятеро быстрее Васиного трактора, он дал Васе фору и выехал через час после Васи. После того, как Васин трактор проехал ровно половину запланированной трассы, у него отвалилась рессора, поэтому оставшуюся часть пути Вася проехал вдвое медленнее, чем первую. В результате встречи с Васиной рессорой Борису Михайловичу пришлось заехать в оказавшийся рядом сервис на 4 часа, после чего он продолжил путь вдвое медленнее, чем раньше. Докажите, что в результате он отстал от Васи не менее, чем на час.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC отрезок BH является высотой, опущенной на гипотенузу, а BL — медианой в треугольнике BHC. Найдите угол LBC, если известно, что BL = 4 и AH =

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC наибольшая из высот AH равна медиане BM. Докажите, что  B 60^o.

   Решение

Можно ли разрезать треугольник на три выпуклых многоугольника с попарно различным количеством сторон?

   Решение

В окружность радиуса 3 вписана равнобедренная трапеция с углом 45^o при основании и высотой . Найдите площадь трапеции.

   Решение

Докажите, что изодинамические центры лежат на прямой KO, где O — центр описанной окружности, K — точка Лемуана.

   Решение

Докажите что точки A(- 1; - 2), B(2; - 1) и C(8;1) лежат на одной прямой.

   Решение

Докажите, что в треугольнике угол A острый тогда и только тогда, когда m_a > a/2.

   Решение

Стозначное натуральное число n назовём необычным, если десятичная запись числа n³ заканчивается на n, а десятичная запись числа n² не заканчивается на n. Докажите, что существует не менее двух стозначных необычных чисел.

   Решение

В равнобочную трапецию ABCD ( BCAD) вписана окружность, BC : AD = 1 : 3, площадь трапеции равна . Найдите AB.

   Решение

Даны точки A(- 2;1), B(2;5) и C(4; - 1). Точка D лежит на продолжении медианы AM за точку M, причём четырёхугольник ABDC — параллелограмм. Найдите координаты точки D.

   Решение

Внутри правильного тетраэдра ABCD расположены два шара радиусов 2R и 3R , касающиеся друг друга внешним образом, причём один шар вписан в трёхгранный угол тетраэдра с вершиной в точке A , а другой – в трёхгранный угол с вершиной в точке B . Найдите длину ребра этого тетраэдра.

   Решение

На доске написаны девять приведённых квадратных трёхчленов:  x² + a₁x + b₁,  x² + a₂x + b₂,  ...,  x² + a₉x + b₉. Известно, что последовательности  a₁, a₂, ..., a₉  и  b₁, b₂, ..., b₉  – арифметические прогрессии. Оказалось, что сумма всех девяти трёхчленов имеет хотя бы один корень. Какое наибольшее количество исходных трёхчленов может не иметь корней?

   Решение

Через центры некоторых клеток шахматной доски 8×8 проведена замкнутая ломаная без самопересечений. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченной ею части доски общая площадь чёрных кусков равна общей площади белых кусков.

   Решение

Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O . Окружность радиуса R с центром в точке O проходит через вершину B , касается стороны AC и пересекает сторону AB в точке K такой, что BK:AK=5:1 . Найдите длину стороны BC .

   Решение

Через точку N проведены две прямые, касающиеся некоторой окружности с центром O. На одной из этих прямых взята точка A, а на другой прямой взята точка B так, что  OA = OB,  OA > ON.  Известно, что  NA = a,  NB = b,  OA = c  (a ≠ b).  Найдите ON.

   Решение

Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке A. Их общая касательная касается первой окружности в точке B, а второй в точке C. Прямая, проходящая через точки A и B, пересекает вторую окружность в точке D. Известно, что AB = 5 см, AD = 4 см. Найдите CD.

   Решение

Точка M – середина хорды AB. Хорда CD пересекает AB в точке M. На отрезке CD как на диаметре построена полуокружность. Точка E лежит на этой полуокружности, и ME – перпендикуляр к CD. Найдите угол AEB.

   Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 159]      

В равнобочную трапецию ABCD ( BCAD) вписана окружность, BC : AD = 1 : 3, площадь трапеции равна . Найдите AB.

Прислать комментарий

Решение

Точка M – середина хорды AB. Хорда CD пересекает AB в точке M. На отрезке CD как на диаметре построена полуокружность. Точка E лежит на этой полуокружности, и ME – перпендикуляр к CD. Найдите угол AEB.

Прислать комментарий

Решение

В ромб ABCD вписана окружность. Прямая, касающаяся этой окружности в точке P, пересекает стороны AB, BC и продолжение стороны AD соответственно в точках N, Q и M, причём  MN : NP : PQ = 7 : 1 : 2.  Найдите углы ромба.

Прислать комментарий

Решение

На катете BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу в точке D так, что AD : BD = 1 : 3. Высота, опущенная из вершины C прямого угла на гипотенузу, равна 3. Найдите катет BC.

Прислать комментарий

Решение

В параллелограмме лежат две окружности, касающиеся друг друга и трёх сторон параллелограмма каждая. Радиус одной из окружностей равен 1. Известно, что один из отрезков стороны параллелограмма от вершины до точки касания равен . Найдите площадь параллелограмма.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 159]