Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике ABC на стороне AC взята точка D. Окружности, вписанные в треугольники ABD и BCD, касаются стороны AC в точках M и N соответственно. Известно, что AM = 3, MD = 2, DN = 2, NC = 4. Найдите стороны треугольника ABC.

   Решение

---

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Пусть K, L, M, N – середины соответственно сторон AB, BC, CD, AD.
Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников PKL, PLM, PMN и PNK равны.

   Решение

---

В треугольнике ABC сторона AB больше стороны BC. Пусть A₁ и B₁ – середины сторон BC и AC, а B₂ и C₂ – точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB. Докажите, что отрезки A₁B₁ и B₂C₂ пересекаются в точке X, лежащей на биссектрисе угла B.

   Решение

---

Углы треугольника α, β, γ удовлетворяют неравенствам sin α > cos β, sin β > cos γ, sin γ > cos α . Докажите, что треугольник остроугольный.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 37]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65919

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Теорема косинусов ] [ Тригонометрические неравенства ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Правильный пятиугольник и правильный двадцатиугольник вписаны в одну и ту же окружность.
Что больше: сумма квадратов длин всех сторон пятиугольника или сумма квадратов длин всех сторон двадцатиугольника?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110173

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Тригонометрические неравенства ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Найдите все пары чисел x,y (0;) , удовлетворяющие равенству sin x+ sin y= sin(xy) .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105215

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Тригонометрические неравенства ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Какие значения может принимать разность возрастающей арифметической прогрессии a₁, a₂,..., a₅, все члены которой принадлежат отрезку [0; 3π/2], если числа cos a₁, cos a₂, cos a₃, а также числа sin a₃, sin a₄ и sin a₅ в некотором порядке тоже образуют арифметические прогрессии.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79520

Темы:   [ Тригонометрические замены ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Тригонометрические неравенства ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

а) Доказать, что из трёх положительных чисел всегда можно выбрать такие два числа x и y, что  0 ≤ ≤ 1.
б) Верно ли, что указанные два числа можно выбрать из любых четырёх чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115353

Темы:   [ Неравенства для углов треугольника ] [ Доказательство от противного ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Тригонометрические неравенства ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Углы треугольника α, β, γ удовлетворяют неравенствам sin α > cos β, sin β > cos γ, sin γ > cos α . Докажите, что треугольник остроугольный.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 37]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями