Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 12 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Фольклор

a и b – две данные стороны треугольника.
  Как подобрать третью сторону c так, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей с этой стороной делили её на три равных отрезка?
  При каких a и b такая сторона существует?
(Рассматривается вневписанная окружность, касающаяся стороны c и продолжений сторон a и b.)

Вниз   Решение


D – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.

ВверхВниз   Решение


Доказать, что существует бесконечно много таких составных n, что  3n–1 – 2n–1 кратно n.

ВверхВниз   Решение


Грани выпуклого многогранника – подобные треугольники.
Докажите, что многогранник имеет две пары равных граней (одну пару равных граней и еще одну пару равных граней).

ВверхВниз   Решение


Окружность радиуса 2 проходит через середины трёх сторон треугольника ABC, в котором углы при вершинах A и B равны 30° и 45° соответственно.
Найдите высоту, проведённую из вершины A.

ВверхВниз   Решение


При каких натуральных n найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа a и b, что оба числа  a + b  и  an + bn  – целые?

ВверхВниз   Решение


Существуют ли такие 2013 различных натуральных чисел, что сумма каждых 2012 из них не меньше квадрата оставшегося?

ВверхВниз   Решение


В шестиугольнике ABCDEF  AB = BC,  CD = DE,  EF = FA  и  ∠A = ∠C = ∠E.
Докажите, что главные диагонали шестиугольника пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение


Пятизначное число называется неразложимым, если оно не раскладывается в произведение двух трёхзначных чисел.
Какое наибольшее количество неразложимых пятизначных чисел может идти подряд?

ВверхВниз   Решение


В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AHA, BHB и CHC.
Докажите, что треугольник с вершинами в ортоцентрах треугольников AHBHC, BHAHC и CHAHB равен треугольнику HAHBHC.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Постройте параллелограмм ABCD, если на плоскости отмечены три точки: середины его высот BH и BP и середина стороны AD.

ВверхВниз   Решение


Сумма расстояний между серединами противоположных сторон четырёхугольника равна его полупериметру. Докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 100]      



Задача 79360

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Наименьший или наибольший угол ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
Сложность: 4
Классы: 11

Дано 8 действительных чисел: a, b, c, d, e, f, g, h. Доказать, что хотя бы одно из шести чисел  ac + bd,  ae + bf,  ag + bh,  ce + df,  cg + dh,  eg + fh  неотрицательно.

Прислать комментарий     Решение

Задача 115595

Темы:   [ Неравенства с медианами ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Сумма расстояний между серединами противоположных сторон четырёхугольника равна его полупериметру. Докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм.
Прислать комментарий     Решение


Задача 115912

Темы:   [ Поворотная гомотетия ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные треугольники: Δ A'BC Δ B'CA Δ C'AB . Докажите, что в треугольниках ABC и A'B'C' точки пересечения медиан совпадают.
Прислать комментарий     Решение


Задача 55601

 [Задача о четырех пятаках.]
Темы:   [ Пересекающиеся окружности ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Четыре окружности радиуса R пересекаются по три в точках M и N, и по две в точках A, B, C и D. Докажите что ABCD — параллелограмм.

Прислать комментарий     Решение


Задача 57531

Темы:   [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 9

Докажите, что если α, β, γ и α1, β1, γ1 – углы двух треугольников, то   cos α1/sin α + cos β1/sin β + cos γ1/sin γ ≤ ctg α + ctg β + ctg γ.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 100]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .