Версия для печати
Убрать все задачи

---

Числа от 1 до 37 записали в строку так, что сумма любых первых нескольких чисел делится на следующее за ними число.
Какое число стоит на третьем месте, если на первом месте написано число 37, а на втором – 1?

   Решение

---

Точка M находится на расстояниях 5 и 4 от двух параллельных прямых m и n и на расстоянии 3 от плоскости, проходящей через эти прямые. Найдите расстояние между прямыми m и n .

   Решение

---

Можно ли расположить в пространстве четыре попарно перпендикулярные прямые?

   Решение

---

При каких целых n число  n⁴ + 4  – составное?

   Решение

---

Предположим, что нашлись 15 простых чисел, образующих арифметическую прогрессию с разностью d. Докажите, что  d > 30000.

   Решение

---

Докажите, что 3, 5 и 7 являются единственной тройкой простых чисел-близнецов.

   Решение

---

Докажите, что при  n > 2  числа  2ⁿ – 1  и  2ⁿ + 1  не могут быть простыми одновременно.

   Решение

---

Найдите все простые числа, которые равны сумме двух простых чисел и разности двух простых чисел.

   Решение

---

Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?

   Решение

---

В некотором государстве человек может быть зачислен в полицию только в том случае, если он выше ростом чем 80% (или больше) его соседей. Чтобы доказать свое право на зачисление в полицию, человек сам называет число R (радиус), после чего его "соседями" считаются все, кто живёт на расстоянии меньше R от него (число соседей, разумеется, должно быть не нулевое). В этом же государстве человек освобождается от службы в армии только в том случае, если он ниже ростом, чем 80% (или больше) его соседей. Определение "соседей" аналогично; человек сам называет число r (радиус) и т. д., причём R и r не обязательно совпадают. Может ли случиться, что не менее 90% населения имеют право на зачисление в полицию и одновременно не менее 90% населения освобождены от армии? (Каждый человек проживает в определенной точке плоскости.)

   Решение

---

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f (x) = sin⁶x + cos⁶x.

   Решение

---

Решите уравнение tg x + tg 2x + tg 3x + tg 4x = 0.

   Решение

---

Решите уравнение sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

   Решение

---

Решите уравнение sin⁴x + cos⁴x = a.

   Решение

---

Пусть и  — различные корни уравнения a cos x + b sin x = c. Докажите, что

   Решение

---

Пусть MC – перпендикуляр к плоскости треугольника ABC . Верно ли, что AMB < ACB ?

   Решение

---

Существует ли правильный многоугольник, в котором ровно половина диагоналей параллельна сторонам?

   Решение

---

Докажите, что площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.

   Решение

---

Дан правильный девятиугольник.
Сколькими способами можно выбрать три его вершины так, чтобы они являлись вершинами равнобедренного треугольника?

   Решение

---

Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке.Докажите, что ортоцентрическом тетраэдре общие перпендикуляры каждой пары противоположных рёбер пересекаются в одной точке.

   Решение

---

  а) Каких чисел больше среди целых чисел первой тысячи (включая и 1000): в записи которых есть единица, или остальных?

  б) Каких семизначных чисел больше: тех, в записи которых есть единица, или остальных?

   Решение

---

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC лучи AB и DC пересекаются в точке K. Точки P и Q – центры описанных окружностей треугольников ABD и BCD. Докажите, что  ∠PKA = ∠QKD.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 122]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 102526

Темы:   [ Две пары подобных треугольников ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В прямоугольнике ABCD на сторонах AB и AD выбраны соответственно точки E и F так, что  AE : EB = 3 : 1,  AF : FD = 1 : 2.
Найдите отношение  EO : OD,  где O – точка пересечения отрезков DE и CF.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108503

Темы:   [ Две пары подобных треугольников ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Точки M и N находятся на боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD, прямая MN параллельна AD, а отрезок MN делится диагоналями трапеции на три равные части. Найдите длину отрезка MN, если  AD = a,  BC = b,  а точка пересечения диагоналей трапеции лежит внутри четырёхугольника MBCN.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116218

Темы:   [ Две пары подобных треугольников ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Трапеции (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC лучи AB и DC пересекаются в точке K. Точки P и Q – центры описанных окружностей треугольников ABD и BCD. Докажите, что  ∠PKA = ∠QKD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 102458

Темы:   [ Две пары подобных треугольников ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Точка F лежит на продолжении стороны BC параллелограмма ABCD за точку C. Отрезок AF пересекает диагональ BD в точке E, а сторону CD – в точке G. Известно, что  AE = 2  и  GF = 3.  Найдите отношение площадей треугольников BAE и EDG.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53797

Темы:   [ Две пары подобных треугольников ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В треугольнике ABC на основании AC взяты точки P и Q так, что  AP < AQ.  Прямые BP и BQ делят медиану AM на три равные части. Известно, что  PQ = 3.
Найдите AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 122]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями