В треугольнике ABC медианы AA' , BB' и CC' продлили до пересечения с описанной окружностью в точках A0 , B0 и C0 соответственно. Известно, что точка M пересечения медиан треугольника ABC делит отрезок AA0 пополам. Докажите, что треугольник A0B0C0 – равнобедренный.

   Решение

В треугольнике ABC c углом A, равным 45°, проведена медиана AM. Прямая b симметрична прямой AM относительно высоты BB₁, а прямая c симметрична прямой AM относительно высоты CC₁. Прямые b и c пересеклись в точке X. Докажите, что  AX = BC.

   Решение

В трапеции ABCD с большим основанием BC и площадью, равной 4 , прямые BC и AD касаются окружности диаметром 2 в точках B и D соответственно. Боковые стороны трапеции AB и CD пересекают окружность в точках M и N соответственно. Длина MN равна . Найдите величину угла MDN и длину основания BC .

   Решение

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного неравнобедренного треугольника ABC, точка C₁ симметрична C относительно O, D – середина стороны AB, K – центр описанной окружности треугольника ODC₁. Докажите, что точка O делит пополам отрезок прямой OK, лежащий внутри угла ACB.

   Решение

Есть тысяча билетов с номерами 000, 001, ..., 999 и сто ящиков с номерами 00, 01, ..., 99. Билет разрешается опустить в ящик, если номер ящика может быть получен из номера билета вычеркиванием одной из цифр. Можно ли разложить все билеты в 50 ящиков?

   Решение

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 1224]      

Дан такой набор из 2009 чисел, что если каждое число в наборе заменить на сумму остальных чисел, то получится тот же набор.
Найдите произведение всех чисел набора.

Прислать комментарий

Решение

На длинной скамейке сидели мальчик и девочка. Затем по одному пришли ещё 20 детей, и каждый садился между какими-то двумя уже сидящими. Назовём девочку отважной, если она садилась между двумя соседними мальчиками, а мальчика – отважным, если он садился между двумя соседними девочками. В итоге оказалось, что мальчики и девочки на скамейке чередуются. Можно ли наверняка сказать, сколько отважных среди детей на скамейке?

Прислать комментарий

Решение

На доске записано 101 число: 1², 2², ..., 101². За одну операцию разрешается стереть любые два числа, а вместо них записать модуль их разности.
Какое наименьшее число может получиться в результате 100 операций?

Прислать комментарий

Решение

Есть тысяча билетов с номерами 000, 001, ..., 999 и сто ящиков с номерами 00, 01, ..., 99. Билет разрешается опустить в ящик, если номер ящика может быть получен из номера билета вычеркиванием одной из цифр. Можно ли разложить все билеты в 50 ящиков?

Прислать комментарий

Решение

Вначале на плоскости были отмечены три различные точки. Каждую минуту выбирались некоторые три из отмеченных точек – обозначим их A, B и C, после чего на плоскости отмечалась точка D, симметричная A относительно серединного перпендикуляра к BC. Через сутки оказалось, что среди отмеченных точек нашлись три различные точки, лежащие на одной прямой. Докажите, что три исходных точки также лежали на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 1224]