Версия для печати
Убрать все задачи

---

В вершинах кубика написали числа от 1 до 8, а на каждом ребре – модуль разности чисел, стоящих в его концах. Какое наименьшее количество различных чисел может быть написано на ребрах?

   Решение

---

n одинаковых монет лежат на столе, образуя замкнутую цепочку. Центры монет образуют выпуклый многоугольник. Сколько оборотов сделает монета такого же размера за время, пока она один раз прокатится по внешней стороне всей цепочки, как показано на рисунке?

Как изменится ответ, если радиус этой монеты в k раз больше радиуса каждой из монет цепочки?

   Решение

---

Пусть  x₁, x₂, ..., x_n  – некоторые числа, принадлежащие отрезку  [0, 1].
Докажите, что на этом отрезке найдется такое число x, что   ¹/_n (|x – x₁| + |x – x₂| + ... + |x – x_n|)  = ½.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 32798

Тема:   [ Теорема о промежуточном значении. Связность ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

(Продолжение задачи 32796)
  Стоя в углу, Клайв разобрал свои наручные часы, чтобы посмотреть, как они устроены. Собирая их обратно, он произвольно надел часовую и минутную стрелки. Сможет ли он так повернуть циферблат, чтобы хоть раз в сутки часы показывали правильное время (часы при этом еще не заведены)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116994

Тема:   [ Теорема о промежуточном значении. Связность ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Пусть  x₁, x₂, ..., x_n  – некоторые числа, принадлежащие отрезку  [0, 1].
Докажите, что на этом отрезке найдется такое число x, что   ¹/_n (|x – x₁| + |x – x₂| + ... + |x – x_n|)  = ½.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35575

Темы:   [ Теорема о промежуточном значении. Связность ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Дана выпуклая фигура и точка A внутри нее. Докажите, что найдется хорда (т.е. отрезок, соединяющий две граничные точки выпуклой фигуры), проходящая через точку A и делящаяся точкой A пополам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109533

Темы:   [ Кубические многочлены ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ] [ Теория игр (прочее) ] [ Производная и экстремумы ] [ Многочлен нечетной степени имеет действительный корень ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

На доске написано:  x³ + ...x² + ...x + ... = 0.  Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116889

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ] [ Приложения интеграла (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Коэффициенты квадратного уравнения  ax² + bx + c = 0  удовлетворяют условию  2a + 3b + 6c = 0.
Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале  (0, 1).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями