Расстояния от центра описанной окружности остроугольного треугольника до его сторон равны d_a, d_b и d_c. Докажите, что  d_a + d_b + d_c = R + r.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте выпуклый четырёхугольник по серединам его трёх равных сторон.

   Решение

Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиус не меньше ½.

   Решение

Сумма трёх натуральных чисел, являющихся точными квадратами, делится на 9.
Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.

   Решение

Дан трехгранный угол с вершиной O. Можно ли найти такое плоское сечение ABC, чтобы углы OAB, OBA, OBC, OCB, OAC, OCA были острыми?

   Решение

Две окружности разных радиусов касаются в точке C одной прямой и расположены по одну сторону от неё. Отрезок CD – диаметр большей окружности. Из точки D проведены две прямые, касающиеся меньшей окружности в точках A и B. Прямая, проходящая через точки C и A, образует с общей касательной к окружностям в точке C угол 75° и пересекает большую окружность в точке M. Известно, что  AM = .  Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных DA, DB и дугой ACB меньшей окружности.

   Решение

Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что  AB + AC 2AD.

   Решение

Игра происходит на бесконечной плоскости. Играют двое: один передвигает одну фишку-волка, другой – 50 фишек-овец. После хода волка ходит одна из овец, затем, после следующего хода волка, опять какая-нибудь из овец и т. д. И волк, и овцы передвигаются за один ход в любую сторону не более, чем на один метр. Верно ли, что при любой первоначальной позиции волк поймает хотя бы одну овцу?

   Решение

На сторонах произвольного остроугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности. При этом образуется три к внешнихк криволинейных треугольника и один к внутреннийк (рис.). Докажите, что если из суммы площадей к внешнихк треугольников вычесть площадь к внутреннегок треугольника, то получится удвоенная площадь треугольника ABC.

   Решение

Даны 3 скрещивающиеся прямые. Докажите, что они будут общими перпендикулярами к своим общим перпендикулярам.

   Решение

Докажите. что если в трапеции ABCD середину M одной боковой стороны AB соединить с концами другой боковой стороны CD, то площадь полученного треугольника CMD составит половину площади трапеции.

   Решение

Докажите, что  n³ – n  делится на 24 при любом нечётном n.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 606]      

Может ли сумма трёх последовательных натуральных чисел быть простым числом?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что  n³ – n  делится на 24 при любом нечётном n.

Прислать комментарий

Решение

Сумма трёх натуральных чисел, являющихся точными квадратами, делится на 9.
Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых также делится на 9.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что  a ≡ b (mod m)  тогда и только тогда, когда  a – b  делится на m.

Прислать комментарий

Решение

Если  a ≡ b (mod m)  и  c ≡ d (mod m),  то  a + c ≡ b + d (mod m).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 606]