a, b, c, d – положительные числа. Докажите, что  

   Решение

Точка O – центр вписанной окружности треугольника ABC. На сторонах AC и BC выбраны точки M и K соответственно так, что  BK·AB = BO²  и
AM·AB = AO².  Докажите, что точки M, O и K лежат на одной прямой.

   Решение

Семнадцать девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?

   Решение

Сторона ромба равна 8 см, острый угол равен 30^o. Найдите радиус вписанного круга.

   Решение

Джон, приехав из Диснейленда, рассказывал, что там на заколдованном озере имеются семь островов, с каждого из которых ведет один, три или пять мостов. Верно ли, что хотя бы один из этих мостов обязательно выходит на берег озера?

   Решение

В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $O$ – центр описанной окружности. Точка $B_1$ симметрична точке $B$ относительно стороны $AC$. Прямые $AO$ и $B_1C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что луч $KA$ является биссектрисой угла $BKB_1$.

   Решение

Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если точка пересечения его высот лежит на вписанной в треугольник окружности.

   Решение

Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит три дороги, быть ровно 100 дорог?

   Решение

Сколько существует шестизначных чисел, все цифры которых имеют одинаковую чётность?

   Решение

Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$, $AC$ в точках $C_{1}$, $A_{1}$, $B_{1}$ соответственно. Пусть $A'$ – точка, симметричная $A_{1}$ относительно прямой $B_{1}C_{1}$; аналогично определяется точка $C'$. Прямые $A'C_{1}$ и $C'A_{1}$ пересекаются в точке $D$. Докажите, что $BD\parallel AC$.

   Решение

От треугольника отрезали три треугольника, причём каждый из трёх разрезов коснулся вписанной в треугольник окружности. Известно, что периметры отрезанных треугольников равны P₁, P₂, P₃. Найдите периметр исходного треугольника.

   Решение

Доказать неравенство   .

   Решение

В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 100, а основание 60, вписана окружность.
Найдите расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах.

   Решение

Человек имеет 10 друзей и в течение нескольких дней приглашает некоторых из них в гости так, что компания ни разу не повторяется (в какой-то из дней он может не приглашать никого). Сколько дней он может так делать?

   Решение

Два угла треугольника равны 40° и 80°. Найдите углы треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

   Решение

Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника ABC относительно его сторон, лежат на описанной окружности.

   Решение

На окружности расположены 20 точек. Эти 20 точек попарно соединяются 10 хордами, не имеющими общих концов и непересекающихся.
Сколькими способами это можно сделать?

   Решение

Биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AD = BD.

   Решение

Сколькими способами можно разрезать ожерелье, состоящее из 30 различных бусин на 8 частей (резать можно только между бусинами)?

   Решение

Найдите число прямоугольников, составленных из клеток доски с m горизонталями и n вертикалями, которые содержат клетку с координатами  (p, q).

   Решение

Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими?

   Решение

Докажите, что при  a, b, c > 0  имеет место неравенство   ^ab/_c + ^ac/_b + ^bc/_a ≥ a + b + c.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 200]      

Докажите, что при a, b, c имеет место неравенство  

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что при  a, b, c > 0  имеет место неравенство   ^ab/_c + ^ac/_b + ^bc/_a ≥ a + b + c.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что при  a, b, c ≥ 0  имеет место неравенство  (ab + bc + ca)² ≥ 3abc(a + b + c).

Прислать комментарий

Решение

Сумма трёх положительных чисел равна 6. Докажите, что сумма их квадратов не меньше 12.

Прислать комментарий

Решение

Сумма двух неотрицательных чисел равна 10. Какое максимальное и какое минимальное значение может принимать сумма их квадратов?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 200]