Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите для любых натуральных чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ неравенство  $\bigg\lfloor\frac{a_1^2}{a_2}\bigg\rfloor + \bigg\lfloor\frac{a_2^2}{a_3}\bigg\rfloor + ... + \bigg\lfloor\frac{a_n^2}{a_1}\bigg\rfloor \geqslant a_1 + a_2 + ... +a_n$.  ([$x$] – целая часть числа $x$.)

   Решение

---

Докажите, что для любых натуральных a₁, a₂, ..., a_k таких, что , у уравнения не больше чем a₁a₂...a_k решений в натуральных числах. ([x] – целая часть числа x, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x.)

   Решение

---

Докажите, что для любых различных натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо неравенство $|\sqrt[n]{m}-\sqrt[m]{n}|>\frac{1}{mn}$.

   Решение

---

n – натуральное число. Докажите, что  nⁿ > (n + 1)^n–1.

   Решение

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 178]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61398

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Докажите справедливость оценок:

  а)  

  б)  

  в)  

  г)  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79291

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Доказать, что в десятичной записи чисел  2ⁿ + 1974ⁿ и 1974ⁿ  содержится одинаковое количество цифр.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115365

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Даны квадратные трёхчлены  x² + 2a₁x + b₁,  x² + 2a₂x + b₂,  x² + 2a₃x + b₃.  Известно, что  a₁a₂a₃ = b₁b₂b₃ > 1.
Докажите, что хотя бы один из этих трёхчленов имеет два корня.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111259

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Произведение положительных чисел х, у и z равно 1. Докажите, что  (2 + х)(2 + у)(2 + z) ≥ 27.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30900

Темы:   [ Индукция (прочее) ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

n – натуральное число. Докажите, что  nⁿ > (n + 1)^n–1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 178]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями