Каталог по темам

Задачи

Страница: << 92 93 94 95 96 97 98 >> [Всего задач: 1221]

Задача 30596

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Докажите, что 1ⁿ + 2ⁿ + ... + (n – 1)ⁿ делится на n при нечётном n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 30600

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
Темы:	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Назовём натуральное число n удобным, если n² + 1 делится на 1000001. Докажите, что среди чисел 1, 2, ..., 1000000 чётное число удобных.

Прислать комментарий

Решение

Задача 30657

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
Темы:	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Решить в целых числах уравнение x² + y² = x + y + 2.

Прислать комментарий

Решение

Задача 30797

Темы:	[	Планарные графы. Формула Эйлера	]
Темы:	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что для плоского графа справедливо неравенство 2E ≥ 3F.

Прислать комментарий

Решение

Задача 30955

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

По кругу расставлены нули и единицы (и те и другие присутствуют). Каждое число, у которого два соседа одинаковы, заменяют на ноль, а остальные числа – на единицы, и такую операцию проделывают несколько раз.
a) Могут ли все числа стать нулями, если их 13 штук? б) Могут ли все числа стать единицами, если их 14 штук?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 92 93 94 95 96 97 98 >> [Всего задач: 1221]