Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Алгебраические неравенства и системы неравенств
>>
Системы алгебраических неравенств
Фильтр
Выбрано 17 задач Убрать все задачи
Докажите, что у четырёхугольника, вписанного в окружность, суммы противоположных углов равны 180o.
Найдите углы четырёхугольника ABCD, вершины которого расположены на окружности, если ∠ABD = 74°, ∠DBC = 38°, ∠BDC = 65°.
Можно ли описать окружность около четырёхугольника, углы которого по порядку относятся как: а) 2:4:5:3; б) 5:7:8:9?
Три последовательных угла вписанного четырёхугольника относятся как 1:2:3. Найдите все углы четырёхугольника.
Биллиард имеет форму выпуклого четырехугольника ABCD. Из точки K стороны AB выпустили биллиардный шар, который отразился в точках L, M, N от сторон BC, CD, DA, возвратился в точку K и вновь вышел на траекторию KLMN. Докажите, что четырехугольник ABCD можно вписать в окружность.
Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.
На затонувшей каравелле XIV века были найдены шесть мешков с золотыми монетами. В первых четырёх мешках оказалось по 60, 30, 20 и 15 золотых монет. Когда подсчитали монеты в оставшихся двух, кто-то заметил, что число монет в мешках составляет некую последовательность. Приняв это к сведению, смогли бы вы сказать, сколько монет в пятом и шестом мешках?
a, b, c, d – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств
1) a + b < c + d;
2) (a + b)cd < ab(c + d);
3) (a + b)(c + d) < ab + cd
неверно.
На сторонах AB и AC треугольника ABC выбрали точки P и Q так, что PB = QC. Докажите, что PQ < BC.
Что больше: 1234567·1234569 или 1234568²?
Если к числу 100 применить 99 раз операцию "факториал", то получится число A. Если к числу 99 применить 100 раз операцию "факториал", то получится число B. Какое из этих двух чисел больше?
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Известно, что ∠ABD + ∠ACD > ∠BAC + ∠BDC. Докажите, что SABD + SACD > SBAC + SBDC.
Дан треугольник ABC. M – середина стороны BC, а P – проекция вершины B на серединный перпендикуляр к AC. Прямая PM пересекает сторону AB в точке Q. Докажите, что треугольник QPB равнобедренный.
Как вы думаете, среди четырёх последовательных натуральных чисел будет ли хотя бы одно делиться а) на 2? б) на 3? в) на 4? г) на 5?
Сумма n положительных чисел x1, x2, x3, ..., xn равна 1.
Пусть S – наибольшее из чисел
Найдите наименьшее возможное значение S. При каких значениях x1, x2, ..., xn оно достигается?
Даны две единичные окружности ω1 и ω2, пересекающиеся в точках A и B. На окружности ω1 взяли произвольную точку M, а на окружности ω2 точку N. Через точки M и N провели ещё две единичные окружности ω3 и ω4. Обозначим повторное пересечение ω1 и ω3 через C, повторное пересечение окружностей ω2 и ω4 – через D. Докажите, что ACBD – параллелограмм.
Пусть A, B и C – три числа, большие 0 и меньшие 1, K – наибольшее из них. Докажите, что 1 – (1 – A)(1 – B)(1 – C) > K.
Задачи Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]
Задача 32097 |
|
|
Пусть A, B и C – три числа, большие 0 и меньшие 1, K – наибольшее из них. Докажите, что 1 – (1 – A)(1 – B)(1 – C) > K.
|
|
Решение |
Задача 30927 |
|
|
Докажите, что три неравенства не могут быть все верны одновременно, если числа a1, a2, a3, b1, b2, b3 положительны.
|
|
Решение |
Задача 30926 |
|
|
a, b, c, d – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств
1) a + b < c + d;
2) (a + b)cd < ab(c + d);
3) (a + b)(c + d) < ab + cd
неверно.
|
|
|
Решение |
Задача 78018 |
|
|
Сто положительных чисел C1, C2, ..., C100 удовлетворяют условиям
Доказать, что среди них можно найти три числа, сумма которых больше 100.
|
|
|
Решение |
Задача 73692 |
|
|
Сумма n положительных чисел x1, x2, x3, ..., xn равна 1.
Пусть S – наибольшее из чисел
Найдите наименьшее возможное значение S. При каких значениях x1, x2, ..., xn оно достигается?
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 >> [Всего задач: 12]
