Версия для печати
Убрать все задачи

---

По окружности выписано 10 чисел, сумма которых равна 100. Известно, что сумма каждых трёх чисел, стоящих рядом, не меньше 29.
Укажите такое наименьшее число А, что в любом таком наборе чисел каждое из чисел не превосходит А.

   Решение

---

Из вершины тупого угла А треугольника АВС опущена высота AD. Проведена окружность с центром D и радиусом DA, которая вторично пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите AC, если  AB = c,  AM = m  и  AN = n.

   Решение

---

В связном графе степени четырёх вершин равны 3, а степени остальных вершин равны 4.
Докажите, что нельзя удалить ребро так, чтобы граф распался на две изоморфные компоненты связности.

   Решение

---

В прямоугольном треугольнике ABC  (∠B = 90°)  проведена высота BH. Окружность, вписанная в треугольник ABH, касается сторон AB, AH в точках H₁, B₁ соответственно; окружность, вписанная в треугольник CBH, касается сторон CB, CH в точках H₂, B₂ соответственно. Пусть O – центр описанной окружности треугольника H₁BH₂. Докажите, что  OB₁ = OB₂.

   Решение

---

В стране 64 города, некоторые пары из них соединены дорогой, но нам неизвестно, какие именно. Можно выбрать любую пару городов и получить ответ на вопрос “есть ли дорога между ними?”. Нужно узнать, можно ли в этой стране добраться от любого города до любого другого, двигаясь по дорогам. Докажите, что не существует алгоритма, позволяющего сделать это менее чем за 2016 вопросов.

   Решение

---

Полуокружность с диаметром AD касается катета BC прямоугольного треугольника ABC в точке М (см. рисунок).
Докажите, что AM – биссектриса угла BAC.

   Решение

---

а) Докажите, что производящая функция последовательности чисел Фибоначчи   F(x) = F₀ + F₁x + F₂x² + ... + F_nxⁿ + ...

может быть записана в виде     где   = ,  = .

б) Пользуясь результатом задачи 61490, получите формулу Бине (см. задачу 60578.

   Решение

---

Каждое из рёбер полного графа с 17 вершинами покрашено в один из трёх цветов.
Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.

   Решение

---

Лёша нарисовал геометрическую картинку, обведя четыре раза свой пластмассовый прямоугольный треугольник, прикладывая короткий катет к гипотенузе и совмещая вершину острого угла с вершиной прямого. Оказалось, что "замыкающий" пятый треугольник – равнобедренный (см. рис., равны именно отмеченные стороны). Найдите острые углы Лёшиного треугольника?

   Решение

---

Точка D – середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC,  ∠ВАС = 35°.  Точка B₁ симметрична точке B относительно прямой СD.
Найдите угол AB₁C.

   Решение

---

На окружности даны 10 точек. Сколькими способами можно провести пять отрезков, не имеющих общих точек, с концами в данных точках?

   Решение

---

В стране Мара расположено несколько замков. Из каждого замка ведут три дороги. Из какого-то замка выехал рыцарь. Странствуя по дорогам, он из каждого замка, стоящего на его пути, поворачивает либо направо, либо налево по отношению к дороге, по которой приехал. Рыцарь никогда не сворачивает в ту сторону, в которую он свернул перед этим. Доказать, что когда-нибудь он вернётся в исходный замок.

   Решение

---

Докажите, что в плоском графе есть вершина, степень которой не превосходит 5.

   Решение

---

Существует ли прямоугольный треугольник, у которого длины двух сторон – целые числа, а длина третьей стороны равна   ?

   Решение

---

Имеются два сосуда. В них разлили 1 л воды. Из первого сосуда переливают половину воды во второй, затем из второго переливают половину оказавшейся в нем воды в первый, затем из первого сосуда переливают половину оказавшейся в нем воды во второй и т. д. Докажите, что независимо от того, сколько воды было сначала в каждом из сосудов, после 100 переливаний в них будет л и л с точностью до 1 миллилитра.

   Решение

---

На плоскости отмечено 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые пары точек соединены отрезками. Известно, что никакая тройка отрезков не образует треугольника. Какое наибольшее число отрезков могло быть проведено?

   Решение

---

Международная комиссия состоит из девяти человек. Материалы комиссии хранятся в сейфе. Сколько замков должен иметь сейф, сколько ключей для них нужно изготовить и как их разделить между членами комиссии, чтобы доступ к сейфу был возможен тогда и только тогда, когда соберутся не менее шести членов комиссии?

   Решение

---

Прямая, перпендикулярная гипотенузе AB прямоугольного треугольника АВС, пересекает прямые АС и ВС в точках Е и D соответственно.
Найдите угол между прямыми AD и ВЕ.

   Решение

---

В некоторой стране каждые два города соединены либо авиалинией, либо железной дорогой. Докажите, что
  а) можно выбрать вид транспорта так, чтобы от каждого города можно было добраться до любого другого, пользуясь только этим видом транспорта;
  б) из некоторого города, выбрав один из видов транспорта, можно добраться до любого другого города не более чем с одной пересадкой (пользоваться можно только выбранным видом транспорта);
  в) каждый город обладает свойством из пункта б);
  г) можно выбрать вид транспорта так, чтобы пользуясь только им, можно было добраться из каждого города до любого другого не более чем с двумя пересадками.

   Решение

---

Найти количество нечётных чисел в n-й строке треугольника Паскаля.

   Решение

Страница: << 54 55 56 57 58 59 60 >> [Всего задач: 1008]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30827

Темы:   [ Ориентированные графы ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В одном государстве 100 городов и каждый соединён с каждым дорогой с односторонним движением. Докажите, что можно поменять направление движения не более чем на одной дороге так, чтобы от каждого города можно было доехать до любого другого.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30830

Темы:   [ Ориентированные графы ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В некотором государстве 101 город.

а) Каждый город соединен с каждым из остальных дорогой с односторонним движением, причём в каждый город входит 50 дорог и из каждого города выходит 50 дорог. Докажите, что из каждого города можно доехать в любой другой, проехав не более чем по двум дорогам.

б) Некоторые города соединены дорогами с односторонним движением, причём в каждый город входит 40 дорог и из каждого города выходит 40 дорог. Докажите, что из каждого города можно добраться до любого другого, проехав не более чем по трём дорогам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 31086

Темы:   [ Ориентированные графы ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 6,7,8

В ориентированном графе 101 вершина. У каждой вершины число входящих и число выходящих рёбер равно 40.

Доказать, что из каждой вершины можно попасть в любую другую, пройдя не более чем по трём ребрам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32082

Темы:   [ Числа Каталана ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Системы точек и отрезков (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На окружности даны 10 точек. Сколькими способами можно провести пять отрезков, не имеющих общих точек, с концами в данных точках?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32881

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Найти количество нечётных чисел в n-й строке треугольника Паскаля.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 54 55 56 57 58 59 60 >> [Всего задач: 1008]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями