Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Алгебра и арифметика >> Теория чисел. Делимость >> НОД и НОК. Взаимная простота
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 18 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Какие значения может принимать наибольший общий делитель натуральных чисел m и n, если известно, что при увеличении числа m на 6 он увеличивается в 9 раз?

Вниз   Решение

Автор: Гаркавый А.

В прямоугольнике ABCD точка M – середина стороны CD. Через точку C провели прямую, перпендикулярную прямой BM, а через точку M – прямую, перпендикулярную диагонали BD. Докажите, что два проведённых перпендикуляра пересекаются на прямой AD.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Бакаев Е.В., Зимин А.

Даны равнобедренный прямоугольный треугольник ABC и прямоугольный треугольник ABD с общей гипотенузой AB (D и C лежат по одну сторону от прямой AB). Пусть DK – биссектриса треугольника ABD. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ACK лежит на прямой AD.

ВверхВниз   Решение

Автор: Берлов С.Л.

a, b, c – натуральные числа,  НОД(a, b, c) = 1  и     Докажите, что  a – b  – точный квадрат.

ВверхВниз   Решение

Точка A лежит внутри правильного десятиугольника X1...X10, а точка B — вне его. Пусть  a = + ... +   и  b = + ... + .
Может ли оказаться, что  |a| > |b| ?

ВверхВниз   Решение

Доказать, что наибольший общий делитель суммы двух чисел и их наименьшего общего кратного равен наибольшему общему делителю самих чисел.

ВверхВниз   Решение

Число сторон многоугольника A1...An нечётно. Докажите, что:
  а) если этот многоугольник вписанный и все его углы равны, то он правильный;
  б) если этот многоугольник описанный и все его стороны равны, то он правильный.

ВверхВниз   Решение

Автор: Макаров М.А.

Звенья AB, BC и CD ломаной ABCD равны по длине и касаются некоторой окружности.
Доказать, что точка K касания этой окружности со звеном BC, её центр O и точка пересечения прямых AC и BD лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение

В прямоугольнике с целыми сторонами m и n, нарисованном на клетчатой бумаге, проведена диагональ.
  а) Через какое число узлов она проходит?
  б) На сколько частей эта диагональ делится линиями сетки?

ВверхВниз   Решение

В строку выписано m натуральных чисел. За один ход можно прибавить по единице к некоторым n из этих чисел.
Всегда ли можно сделать все числа равными?

ВверхВниз   Решение

Площадь треугольника ABC равна S, $ \angle$BAC = $ \alpha$, $ \angle$BCA = $ \gamma$. Найдите AB.

ВверхВниз   Решение

Прямая, проходящая через центры двух окружностей называется их линией центров.
Докажите, что общие внешние (внутренние) касательные к двум окружностям пересекаются на линии центров этих окружностей.

ВверхВниз   Решение

В трапеции ABCD даны основания  AD = 12  и  BC = 3.  На продолжении стороны BC выбрана такая точка M, что прямая AM отсекает от трапеции треугольник, площадь которого составляет ¾ площади трапеции. Найдите CM.

ВверхВниз   Решение

Автор: Жуков Г.

Можно ли n раз рассадить  2n + 1  человек за круглым столом, чтобы никакие двое не сидели рядом более одного раза, если
 а)  n = 5;  б)  n = 4;  в) n – произвольное натуральное число?

ВверхВниз   Решение

Стороны выпуклого пятиугольника ABCDE продолжили так, что образовалась пятиконечная звезда AHBKCLDMEN (рис.). Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите, что пять точек пересечения этих окружностей, отличных от A, B, C, D, E, лежат на одной окружности.


ВверхВниз   Решение

Правильный пятиугольник ABCDE со стороной a вписан в окружность S. Прямые, проходящие через его вершины перпендикулярно сторонам, образуют правильный пятиугольник со стороной b (см. рис.). Сторона правильного пятиугольника, описанного около окружности S, равна c. Докажите, что  a2 + b2 = c2.


ВверхВниз   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  проведены высоты AA1, BB1 и CC1.
Найдите отношение площади треугольника A1B1C1 к площади треугольника ABC, если   AB/A1B1 = .

ВверхВниз   Решение

Дано n попарно взаимно простых чисел, больших 1 и меньших  (2n – 1)².  Докажите, что среди них обязательно есть простое число.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 276]      

  с решениями  

Задача 34920

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Дано n попарно взаимно простых чисел, больших 1 и меньших  (2n – 1)².  Докажите, что среди них обязательно есть простое число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 34927

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Может ли произведение трёх последовательных натуральных чисел быть степенью натурального числа (квадратом, кубом и т.д.)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 35134

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Инварианты ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В строку выписано m натуральных чисел. За один ход можно прибавить по единице к некоторым n из этих чисел.
Всегда ли можно сделать все числа равными?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60483

Тема:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если в наборе целых чисел a1, ..., an хотя бы одно отлично от 0, то они имеют наибольший общий делитель.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60484

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

В прямоугольнике с целыми сторонами m и n, нарисованном на клетчатой бумаге, проведена диагональ.
  а) Через какое число узлов она проходит?
  б) На сколько частей эта диагональ делится линиями сетки?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 276]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .