Фильтр
Выбрано 9 задач Убрать все задачи
В Швамбрании N городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги
сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над
другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение
таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться.
Доказать, что
а) волшебник может это сделать;
б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и
найдётся город, из которого нельзя выехать;
в) существует единственный путь, обходящий все города;
г) волшебник может осуществить своё намерение N! способами.
РешениеДан куб с ребром 1. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до его вершин не меньше 4
РешениеРешить в целых числах уравнение 2n + 7 = x².
РешениеНабор чисел a0, a1, ..., an удовлетворяет условиям: a0 = 0, 0 ≤ ak+1 – ak ≤ 1 при k = 0, 1, ..., n – 1. Докажите неравенство
РешениеЦелые ненулевые числа a1, a2, ..., an таковы, что равенство
a) Докажите, что число n чётно.
б) При каком наименьшем n такие числа существуют?
РешениеДокажите, что если все грани тетраэдра равны между собой, то противоположные рёбра тетраэдра попарно равны.
Решениеа) Укажите два прямоугольных треугольника, из которых можно сложить треугольник, длины сторон и площадь которого — целые числа.
б) Докажите, что если площадь треугольника — целое число, а длины сторон — последовательные натуральные числа, то этот треугольник можно сложить из двух прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами.
РешениеОснование пирамиды ABCD – треугольник ABC со сторонами AC = 6 , BC = 8 , AB = 10 . Все боковые рёбра равны 5
РешениеНесколько углов покрывают плоскость. Докажите, что сумма этих углов не меньше 360°.
Решение
Задачи
Задача 34970 |
|
|
Несколько углов покрывают плоскость. Докажите, что сумма этих углов не меньше 360°.
|
|
|
Решение |
Задача 58097 |
|
|
Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.
Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней
мере четыре из этих окружностей.
|
|
Решение |
Задача 98298 |
|
|
В ряд выписаны действительные числа a1, a2, a3, ..., a1996. Докажите, что можно выделить одно или несколько стоящих рядом чисел так, что их сумма будет отличаться от целого числа меньше, чем на 0,001.
|
|
|
Решение |
Задача 78661 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 107859 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 71]
