Каталог по темам

Задачи

Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 416]

Задача 109754

Темы:	[	Показательные функции и логарифмы	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]
	[	Теорема о промежуточном значении. Связность	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Сендеров В.А.

Докажите, что для всех x(0;) при n>m , где n,m – натуральные, справедливо неравенство

2| sinⁿ x- cosⁿ x| 3| sin^m x- cos^m x|;

Прислать комментарий

Решение

Задача 35708

Темы:	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Неопределено	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Положительные иррациональные числа a и b таковы, что 1/a+1/b=1. Докажите, что среди чисел [ma], [nb] каждое натуральное число встречается ровно один раз.

Прислать комментарий Решение

Задача 61338

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Последовательность чисел a₁, a₂, a₃,...задается условиями

a₁ = 1, a_{n + 1} = a_n + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что
а) эта последовательность неограничена;
б) a₉₀₀₀ > 30;
в) найдите предел $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$ ${\dfrac{a_n}{\sqrt[3]n}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61516

Темы:	[	Формальные степенные ряды	]
Темы:	[	Ряды Тейлора и Маклорена	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Найдите общую формулу для коэффициентов ряда

(1 - 4x)^- = 1 + 2x + 6x² + 20x³ +...+ a_nxⁿ +...

Прислать комментарий

Решение

Задача 67188

Темы:	[	Троичная система счисления	]
	[	Числовые последовательности (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Бутырин Б.

Назовём тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность $(a_n)$ строится следующим образом: $a_0 = 0$, $a_1 = 1$ и при $n > 1$ число $a_n$ — такое минимальное натуральное число, большее $a_{n-1}$, что среди чисел $a_0$, $a_1$, ..., $a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_{2023} \leqslant 100\,000$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 416]