В клетчатом квадрате 64*64 вырезали одну из клеток. Докажите, что оставшуюся часть квадрата можно разрезать на уголки из трех клеток.

   Решение

Докажите, что граф с n вершинами, степень каждой из которых не менее ^n–1/₂, связен.

   Решение

Докажите неравенство для положительных значений переменных:   a³b + b³c + c³a ≥ abc(a + b + c).

   Решение

BD — биссектриса треугольника ABC, причём AD > CD. Докажите, что AB > BC.

   Решение

В равносторонний треугольник ABC вписана полуокружность с центром O на стороне AB. Некоторая касательная к полуокружности пересекает стороны BC и CA в точках M и N соответственно, а прямая, соединяющая точки касания сторон AB и AC с полуокружностью, пересекает отрезки OM и ON в точках Q и P.
Докажите, что  MN = 2PQ.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 60]      

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Описанная окружность Ω треугольника ABC пересекает прямую A₁C₁ в точках A' и C'. Касательные к Ω, проведённые в точках A' и C', пересекаются в точке B'. Докажите, что прямая BB' проходит через центр окружности Ω.

Прислать комментарий

Решение

В равносторонний треугольник ABC вписана полуокружность с центром O на стороне AB. Некоторая касательная к полуокружности пересекает стороны BC и CA в точках M и N соответственно, а прямая, соединяющая точки касания сторон AB и AC с полуокружностью, пересекает отрезки OM и ON в точках Q и P.
Докажите, что  MN = 2PQ.

Прислать комментарий

Решение

Сторона AB параллелограмма ABCD равна 2,  ∠A = 45°.  Точки E и F расположены на диагонали BD, причём  ∠AEB = ∠CFD = 90°,  BF = ³/₂ BE.
Найдите площадь параллелограмма.

Прислать комментарий

Решение

Сторона AB параллелограмма ABCD равна ,  ∠A = arccos . Точки E и F расположены на диагонали BD, причём  ∠AEB = ∠CFD = 90°,  BF = 3BE.  Найдите площадь параллелограмма.

Прислать комментарий

Решение

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ – высоты остроугольного треугольника ABC, O_A, O_B, O_C – центры вписанных окружностей треугольников AB₁C₁, BC₁A₁, CA₁B₁ соответственно; T_A, T_B, T_C – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC, CA, AB соответственно. Докажите, что все стороны шестиугольника T_AO_CT_BO_AT_CO_B равны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 60]