Каталог по темам

Выбрано 14 задач

Версия для печати
Убрать все задачи

Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания a и радиусом R описанной сферы.

Решение

Докажите, что площадь прямоугольного треугольника с острым углом в 15° равна одной восьмой квадрата гипотенузы.

Решение

Семнадцать девушек водят хоровод. Сколькими различными способами они могут встать в круг?

Решение

На стороне BC треугольника ABC взята точка D такая, что $\angle$ CAD = 2 $\angle$ DAB. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ADC и ADB, равны соответственно 3 и 2, а расстояние между центрами этих окружностей равно $\sqrt{29}$ . Найдите AD.

Решение

Точка O – центр вписанной окружности треугольника ABC. На сторонах AC и BC выбраны точки M и K соответственно так, что BK·AB = BO² и
AM·AB = AO². Докажите, что точки M, O и K лежат на одной прямой.

Решение

Докажите, что из точки A, лежащей вне окружности, можно провести ровно две касательные к окружности, причем длины этих касательных (т. е. расстояния от A до точек касания) равны.

Решение

Основанием пирамиды служит параллелограмм, соседние стороны которого равны 9 и 10, а одна из диагоналей равна 11. Противоположные боковые рёбра равны и каждое из больших рёбер равно 10 . Найдите объём пирамиды.

Решение

Докажите, что при x≠πn (n– целое) sin x и cos x рациональны тогда и только тогда, когда число tg ${\dfrac{x}{2}}$ рационально.

Решение

Архитектор хочет расположить семь высотных зданий так, чтобы, гуляя по городу, можно было увидеть их шпили в любом (циклическом) порядке.
Удастся ли это ему?

Решение

В таблице 25×25 расставлены целые числа так, что в каждом столбце и в каждой строчке встречаются все числа от 1 до 25. При этом таблица симметрична относительно главной диагонали. Доказать, что на главной диагонали все числа от 1 до 25 встречаются по одному разу.

Решение

Автор: Евдокимов М.А.

У математика есть 19 различных гирь, массы которых в килограммах равны $\ln 2$, $\ln 3$, $\ln 4, \ldots, \ln 20$, и абсолютно точные двухчашечные весы. Он положил несколько гирь на весы так, что установилось равновесие. Какое наибольшее число гирь могло оказаться на весах?

Решение

Известно, что при любом целом K ≠ 27 число a – K¹⁹⁶⁴ делится без остатка на 27 – K. Найти a.

Решение

На окружности даны точки A, B, C, D в указанном порядке. M — середина дуги AB. Обозначим точки пересечения хорд MC и MD с хордой AB через E и K. Докажите, что KECD — вписанный четырехугольник.

Решение

В параллелограмме ABCD сторона AD равна 6. Биссектриса угла ADC пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T, KT = 3. Найдите угол BAD.

Решение

Задача 52927

Задача 52964

Задача 52966

Задача 52967

Задача 53039