Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

   Решение

Замените $\ast$ одинаковыми числами так, чтобы равенство стало верным: $$\frac{20}{\ast} - \frac{\ast}{15} = \frac{20}{15}$$

   Решение

Решите уравнение:   .

   Решение

Площадь основания прямой треугольной призмы равна 4, площади боковых граней равны 9, 10 и 17. Найдите объём призмы.

   Решение

Известно, что ортогональные проекции некоторого тела на две непараллельные плоскости являются кругами. Докажите, что эти круги равны.

   Решение

Про трапецию ABCD с основаниями AD и BC известно, что AB = BD. Пусть точка M – середина боковой стороны CD, а O – точка пересечения отрезков AC и BM. Докажите, что треугольник BOC – равнобедренный.

   Решение

Сфера радиуса касается плоскостей всех боковых граней некоторой пирамиды в точках, лежащих на сторонах основания. Найдите высоту пирамиды, если её основанием служит треугольник со сторонами 5, 6 и 9.

   Решение

Пусть $OABCDEF$ – шестигранная пирамида с основанием $ABCDEF$, описанная около сферы $\omega$. Плоскость, проходящая через точки касания $\omega$ с гранями $OFA$, $OAB$ и $ABCDEF$, пересекает ребро $OA$ в точке $A_1$; аналогично определяются точки $B_1$, $C_1$, $D_1$, $E_1$ и $F_1$. Пусть $\ell$, $m$ и $n$ – прямые $A_1D_1$, $B_1E_1$ и $C_1F_1$ соответственно. Оказалось, что $\ell$ и $m$ лежат в одной плоскости, $m$ и $n$ также лежат в одной плоскости. Докажите, что $\ell$ и $n$ лежат в одной плоскости.

   Решение

Докажите, что диагонали AD, BE, CF вписанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке в каждом из следующих случаев:
  а)  AB = BC,  CD = DE,  EF = FA;
  б)  AB = BC,  CD = FA,  EF = DE;
  в)  AB = DE,  CD = FA,  EF = BC.

   Решение

На сколько частей делят пространство n плоскостей "общего положения"? И что это за "общее положение"?

   Решение

Докажите равенство треугольников по трём медианам.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 60]      

На столе лежит картонный круг радиуса 5 см. Петя, пока возможно, прикладывает к кругу снаружи картонные квадраты со стороной 5 см так, чтобы выполнялись условия:
  1) у каждого квадрата одна вершина лежит на границе круга;
  2) квадраты не пересекаются;
  3) каждый следующий квадрат касается предыдущего вершиной к вершине.
Определите, сколько квадратов может выложить Петя, и докажите, что последний и первый квадрат тоже коснутся вершинами.

Прислать комментарий

Решение

Про трапецию ABCD с основаниями AD и BC известно, что AB = BD. Пусть точка M – середина боковой стороны CD, а O – точка пересечения отрезков AC и BM. Докажите, что треугольник BOC – равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

Докажите равенство треугольников по трём медианам.

Прислать комментарий

Решение

Назовём два неравных треугольника похожими, если можно обозначить их ABC и A'B'C' так, чтобы выполнялись равенства  AB = A'B',  AC = A'C'  и
∠B = ∠B'.  Существуют ли три попарно похожих треугольника?

Прислать комментарий

Решение

Hа плоскости проведены шесть прямых. Известно, что для любых трёх из них найдется такая четвёртая из этого же набора прямых, что все четыре будут касаться некоторой окружности. Oбязательно ли все шесть прямых касаются одной и той же окружности?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 60]