Версия для печати
Убрать все задачи

---

На шахматной доске выбрана клетка. Сумма квадратов расстояний от её центра до центров всех чёрных клеток обозначена через a, а до центров всех белых клеток – через b. Докажите, что  a = b.

   Решение

---

В треугольник с периметром 2p вписана окружность. К этой окружности проведена касательная, параллельная стороне треугольника. Найдите наибольшую возможную длину отрезка этой касательной, заключённого внутри треугольника.

   Решение

---

Найдите производящие функции последовательностей многочленов Чебышева первого и второго рода:

Определения многочленов Чебышева можно найти в справочнике.

   Решение

---

а) В трёхзначном числе зачеркнули первую цифру слева, затем полученное двузначное число умножили на 7 и получили исходное трёхзначное число. Найдите такое число.
б) В трёхзначном числе зачеркнули среднюю цифру и получили число в 6 раз меньше исходного. Найдите такое трёхзначное число.

   Решение

---

На прямой даны четыре точки A, B, C, D в указанном порядке. Постройте точку M, из которой отрезки AB, BC, CD видны под равными углами.

   Решение

---

Найдите расстояние между точками касания окружностей, вписанных в треугольники ABC и CDA, со стороной AC, если

а) AB = 5, BC = 7, CD = DA;

б) AB = 7, BC = CD, DA = 9.

   Решение

Страница: << 86 87 88 89 90 91 92 >> [Всего задач: 772]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 52837

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На отрезке AC взята точка B, и на отрезках AB, BC и CA построены полуокружности S₁, S₂ и S₃ по одну сторону от AC; D — точка на S₃, проекция которой на AC совпадает с точкой B. Общая касательная к S₁ и S₂ касается этих полуокружностей в точках F и E соответственно. Докажите, что

а) прямая EF параллельна касательной к S₃, проведённой через точку D;

б) BFDE — прямоугольник.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53570

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Найдите расстояние между точками касания окружностей, вписанных в треугольники ABC и CDA, со стороной AC, если

а) AB = 5, BC = 7, CD = DA;

б) AB = 7, BC = CD, DA = 9.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53720

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Докажите, что если радиус вневписанной окружности равен полупериметру треугольника, то этот треугольник — прямоугольный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55411

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прямая OA касается окружности в точке A, а хорда BC параллельна OA. Прямые OB и OC вторично пересекают окружность в точках K и L.
Докажите, что прямая KL делит отрезок OA пополам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55485

Темы:   [ Теорема косинусов ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Из точки A к окружности радиусом R проводится касательная AM (M — точка касания). Секущая, проходящая через точку A, пересекает окружность в точках K и L, причём L — середина отрезка AK, а угол AMK равен 60^o. Найдите площадь треугольника AMK.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 86 87 88 89 90 91 92 >> [Всего задач: 772]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями